Бие́кция — отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют также взаимно однозначным отображением (соответствием).

Биективное отображение, являющееся гомоморфизмом, называют изоморфным соответствием.

Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются равномощными. С точки зрения алгебры равномощные множества неразличимы.

Взаимно однозначное отображение конечного множества на себя называется перестановкой (или подстановкой) элементов этого множества.

Формально, функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется биекцией (и обозначается ${\displaystyle f\colon X\leftrightarrow Y}$), если она:

• переводит разные элементы множества ${\displaystyle X}$ в разные элементы множества ${\displaystyle Y}$ (инъективность):

  ${\displaystyle \forall x_{1}\in X,\;\forall x_{2}\in X\;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}$.

• любой элемент из ${\displaystyle Y}$ имеет свой прообраз (сюръективность):

  ${\displaystyle \forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y}$.

Примеры:

• Тождественное отображение ${\displaystyle \mathrm {id} \colon X\to X}$ на множестве ${\displaystyle X}$ биективно.
• ${\displaystyle f(x)=x,\;f(x)=x^{3))$ — биективные функции из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в себя; вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в себя.
• ${\displaystyle f(x)=e^{x))$ — биективная функция из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=(0,\;+\infty )}$.
• ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ не является биективной функцией, если считать её определённой на всём ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Строго монотонная и непрерывная функция ${\displaystyle f(x)}$ является биекцией из отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ на отрезок ${\displaystyle [f(a),f(b)]}$.

Функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ такая, что:

${\displaystyle \forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x}$ и ${\displaystyle \forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.}$

Если функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ биективны, то и композиция функций ${\displaystyle g\circ f}$ биективна, в этом случае ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1))$, то есть, композиция биекций является биекцией. Обратное в общем случае неверно: если ${\displaystyle g\circ f}$ биективна, то можно лишь утверждать, что ${\displaystyle f}$ инъективна, а ${\displaystyle g}$ сюръективна.

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — 128 с.
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е изд., стереотип.. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.

Теория множеств
Основные понятия	Множество Функция Кардинальное число Порядковое число Класс Конгломерат[англ.] Урэлемент
Подходы	Содержательный Аксиоматический
Аксиомы	Объёмности Пары Степени Объединения Бесконечности Регулярности Выбора счётного зависимого глобального Конструктивности[англ.] Детерминированности Присоединения[англ.] Ограничения размера[англ.] Мартина
Схемы аксиом	Свёртывания Выделения Преобразования
Операции	Объединение Пересечение Множество всех подмножеств Разность Симметрическая разность Прямое произведение Дизъюнктное объединение
Концепции Методы	Неупорядоченная пара Упорядоченная пара Кортеж Мощность Порядковый тип Диагональный аргумент Конструктивный универсум Континуум-гипотеза Семейство Биекция Форма записи множества Трансфинитная индукция Диаграмма Венна
Типы множеств	Аморфное[англ.] Счётное Пустое Конечное (Наследственное[англ.]) Фильтр[англ.] Ультрафильтр[англ.] Нечёткое Бесконечное (Бесконечное множество Дедекинда[англ.]) Разрешимое Синглетон Подмножество Транзитивное Несчётное Универсальное
Теории	Альтернативная[англ.] Аксиоматическая Наивная Теорема Кантора Теория множеств Цермело[англ.] Общая теория множеств[англ.] Principia Mathematica Новые Основы[англ.] Цермело — Френкеля фон Неймана — Бернайса — Гёделя Морса – Келли[англ.] Крипке – Платека[англ.] Тарского – Гротендика[англ.]
Парадоксы Проблемы	Парадокс Рассела Проблема Суслина[англ.] Парадокс Бурали-Форти
Теоретики множеств	Абрахам Френкель Бертран Рассел Эрнст Цермело Георг Кантор Джон фон Нейман Курт Гёдель Пауль Бернайс Пол Джозеф Коэн Рихард Дедекинд Туральф Скулем Уиллард Ван Орман Куайн