În geometrie o pseudosferă este o suprafață cu curbură gaussiană^⁠(d) negativă constantă.

O pseudosferă cu raza R este o suprafață în ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ având curbura ${\displaystyle -1/R^{2))$ în fiecare punct. Numele său provine din analogia cu sfera de rază R, care este o suprafață cu curbura ${\displaystyle 1/R^{2))$. Termenul a fost introdus de Eugenio Beltrami în lucrarea sa din 1868 despre modelele de geometrie hiperbolică.^[1]

Aceeași suprafață poate fi descrisă ca rezultat al rotației unei tractrice^⁠(d) în jurul asimptotei sale. Din acest motiv pseudosfera se mai numește și tractricoid. De exemplu, jumătate de pseudosferă (cu raza 1) este suprafața de revoluție a tractricei parametrizată de^[2]

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh {t},\operatorname {sech} \,{t}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

Este un spațiu singular (ecuatorul este o singularitate), dar, spre deosebire de singularități, are curbura gaussiană negativă constantă și, prin urmare, este local izometric cu planul hiperbolic.

Denumirea de „pseudosferă” vine de la faptul că este o suprafață bidimensională cu curbura gaussiană negativă constantă, la fel cum o sferă este o suprafață cu curbură gaussiană pozitivă constantă. Așa cum sfera are în fiecare punct geometria curbă a unui dom, pseudosfera are în fiecare punct geometria curbă a unei șei.

Încă din 1693 Christiaan Huygens a descoperit că aria suprafeței pseudosferei și volumul delimitat de ea sunt finite,^[3] chiar dacă forma se extinde la infinit de-a lungul axei de rotație. Pentru o rază dată R a ecuatorului, aria este 4πR² la fel ca pentru sferă, în timp ce volumul este 2/3πR³, adică jumătate din aceea a unei sfere cu aceeași rază.^[4][5]

Jumătatea pseudosferei de curbură −1 este acoperită de interiorul unui oriciclu. În modelul semiplanului Poincaré^⁠(d) o alegere convenabilă este porțiunea semiplanului cu y ≥ 1.^[6] Atunci funcția de acoperire este periodică în direcția x cu perioada 2π și aplică oriciclele y = c pe meridianele pseudosferei și geodezicele verticale x = c pe tractricele care generează pseudosfera. Această aplicare este o izometrie locală, prin urmare prezintă porțiunea y ≥ 1 a semiplanului superior ca spațiul de acoperire^⁠(d) universal al pseudosferei. Funcția exactă este

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )))$

unde

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )))$

este parametrizarea tractricei de mai sus.

În unele surse care utilizează modelul hiperboloidului^⁠(d) pentru planul hiperbolic, hiperboloidul este denumit „pseudosferă”.^[7] Această utilizare a cuvântului se datorează faptului că hiperboloidul poate fi gândit ca o sferă de rază imaginară, încorporat într-un spațiu Minkowski.

• en Stillwell, J. (1996). Sources of Hyperbolic Geometry. Amer. Math. Soc & London Math. Soc. 
• en Henderson, D. W.; Taimina, Diana (2006). „Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History”. Aesthetics and Mathematics (PDF). Springer-Verlag. 
• en Kasner, Edward; Newman, James (1940). Mathematics and the Imagination. Simon & Schuster. p. 140, 145, 155. 

• Hiperboloid
• Sferă

Portal Matematică

• en Non Euclid
• en Crocheting the Hyperbolic Plane: An Interview with David Henderson and Daina Taimina
• en Norman Wildberger lecture 16, History of Mathematics, University of New South Wales. YouTube. 2012 May.
• en Pseudospherical surfaces at the virtual math museum.