Formula lui Heron
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Triangle_with_notations_2.svg/220px-Triangle_with_notations_2.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Herontriangle2greek.svg/220px-Herontriangle2greek.svg.png)
În geometrie, formula lui Heron, descoperită de Heron din Alexandria, este o expresie matematică prin care se poate calcula suprafața unui triunghi oarecare fiind date lungimile celor trei laturi.
Dacă ABC este un triunghi oarecare, cu laturile a, b și c, atunci suprafața sa este dată de formula:
unde reprezintă semiperimetrul triunghiului dat.
Poate fi demonstrată trigonometric sau cu teorema lui Pitagora.
Poate fi extinsă în trigonometrie sferică. Extinderea a fost efectuată de Simon Antoine Jean L'Huilier.
Demonstrații
[modificare | modificare sursă]Demonstrația lui Heron
[modificare | modificare sursă]Demonstrația lui Heron se bazează pe cinci propoziții geometrice[1].
Demonstrație algebrică utilizând teorema lui Pitagora
[modificare | modificare sursă]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Triangle_with_notations_3.svg/270px-Triangle_with_notations_3.svg.png)
Următoarea demonstrație este adaptată după Raifaizen.[2] Prin teorema lui Pitagora se poate scrie egalitatea și după figura din dreapta. Prin scădere rezultă Această egalitate permite exprimarea lui in funcție de lungimea laturilor triunghiului :
Înălțimea triunghiului este Substituind cu formula de mai sus și utilizând identitatea diferenței de pătrate se obține
Acest rezultat utilizat mai departe în expresia ariei unui triunghi pe baza unei înălțimi dă:
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ franceză (({1))} Héron d’Alexandrie : démonstration de la formule d'Héron disponibil online
- ^ Raifaizen, Claude H. (). „A Simpler Proof of Heron's Formula”. Mathematics Magazine. 44 (1): 27–28. doi:10.1080/0025570X.1971.11976093.
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.