Na teoria das equações diferenciais ordinárias, chama-se de equaçao de Sturm-Liouville, nome dado em homenagem aos matemáticos Jacques Charles François Sturm (1803-1855) e Joseph Liouville (1809-1882), uma equação diferencial real de segunda ordem da forma:

${\displaystyle -{\frac {d}{dx))\left[p(x){\frac {dy}{dx))\right]+q(x)y=\lambda w(x)y,\qquad (1).}$

As funções ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle q(x)}$, e ${\displaystyle w(x)}$ são parâmetros e, no caso dito regular, são contínuas no intervalo fechado limitado ${\displaystyle [a,b]}$. O problema é normalmente complementado com condições de contorno especificadas. A função ${\displaystyle w(x)}$ é costumeiramente chamada de função "peso" ou função "densidade".

O valor de ${\displaystyle \lambda }$ pode não ser especificado na equação. Encontrar os valores de ${\displaystyle \lambda }$ para os quais existe uma solução não trivial de (1) satisfazendo as condições de contorno constitui o problema de Sturm-Liouville. Tais ${\displaystyle \lambda }$ são chamados de valores próprios ou autovalores.

Utilizando coordenadas polares na equação do fluxo de velocidade de Madelung, obtemos uma equação de Sturm-Liouville^[1]. Aplicando condições adequadas, alguns problemas clássicos da Mecânica Quântica podem ser resolvidos.

• Equação diferencial

Referências