Em matemática, uma série divergente é uma série que não converge. Tais séries são somas infinitas de parcelas que obedecem a uma regra e/ou Termo Geral. Se uma série converge, os termos individuais da série devem tender a zero. Portanto, toda série na qual os termos individuais não tendem a zero, diverge. O exemplo mais simples de uma série divergente cujos termos aproximam-se de zero é a série harmônica

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n)).}$

A divergência da série harmônica foi demonstrada de forma distinta pelo matemático medieval Nicole d'Oresme.

Às vezes é possível atribuir um valor às séries divergentes utilizando o método da soma. Por exemplo, a soma de Cesàro atribui à série divergente de Grandi

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

o valor ½. Em física, existe uma ampla variedade de métodos da soma.

Se A é uma função que atribui-se um valor a uma seqüência, é conveniente que possua certas propriedades se é que pretende-se que seja um método da soma útil.

1. Regularidade. Um método é regular se, toda vez que a seqüência s converge a x, A(s) = x.
2. Linearidade. A é linear se é funcionalmente linear sobre seqüências convergentes, de forma tal que A(r + s) = A(r) + A(s) e A(ks) = k.A(s), para k um escalar (real ou complexo)
3. Estabilidade. Se s é uma seqüência que começa em s₀ e s′ é a seqüência obtida ao subtrair o primeiro valor, pelo que começa em s₁, então A(s) é definida se e somente se A(s′) é definida, e A(s) = A(s′ ).

A terceira condição é menos importante, e existem alguns métodos destacados, por exemplo, o método de soma de Borel, que não a satisfaz.

Uma propriedade desejável entre dois métodos da soma A e B é que possua consistência: A e B são consistentes se para toda seqüência s a que ambos atribuem um valor, A(s) = B(s). Se dois métodos são consistentes, e um soma mais séries que o outro, pode-se dizer que aquele que soma mais séries é mais potente.

De toda forma é conveniente notar que existem métodos da soma poderosos que todavia, não são nem lineares, nem regulares, por exemplo transformações de seqüências não-lineares como as transformações de seqüências tipo Levin e as aproximações de Padé.

Supondo que λ_n é uma seqüência estritamente crescente que tende ao ∞, e λ₀ ≥ 0. E sendo a_n=s_n+1–s_n uma série infinita, cuja seqüência correspondente é s. E supondo que

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)}$

converge para todos os números reais positivos x. Então a média abeliana A_λ define-se como

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+))f(x).}$

Uma série deste tipo é chamada série generalizada de Dirichlet; no âmbito da física, este método é conhecido como regularização do heat-kernel.

As médias abelianas são regulares, lineares, e estaveis, mas nem sempre resultam ser consistentes entre si. Contudo, existem alguns casos especiais de médias abelianas que são métodos da suma muito importantes.

Se λ_n = n, então obtém-se o método da Soma de Abel. Onde

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-nx)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

com z = exp(-x). E portanto, o limite de f(x) quando x tende a 0 desde os reais positivos é o limite da série de potências para f(z) quando z tende a 1 negativo desde os reais positivos, e a soma de Abel A(s) define-se como

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-))a_{n}z^{n}.}$

A soma de Abel, em parte, é interessante porque é consistente com a soma de Cesàro: se C_k(s) = a para todo k positivo, então A(s) = a. Portanto a soma de Abel é regular, linear, estável, e consistente com a soma de Cesàro. A soma de Abel é mais potente que a soma de Cesàro, por exemplo, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · tem uma soma de Abel mas não uma soma de Cesáro.

• Divergent Series by Godfrey Harold Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949.
• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.
• Padé Approximants by G. A. Baker, Jr. and P. Graves-Morris, Cambridge U.P., 1996.

v d e Séries e Sequência
Sequência aritmética	Séries divergentes 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ Infinita série aritmética
Sequência geométrica	Série convergente 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ Séries geométricas divergentes 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Série de Grandi) Potência de 2 Potência de 10
Sequência hipergeométrica	Função geral hipergeométrica Função hipergeométrica de um argumento matriz Função de Lauricella Função modular hipergeométrica Equação diferencial de Riemann Função Theta hipergeométrica
Sequência de inteiros	Completa Cubo Fatorial Número de Fibonacci Número figurado Número heptagonal Número hexagonal Lista de sequências Sequência de Lucas Número de Pell Número pentagonal Número poligonal Quadrado perfeito Número triangular
Outras sequências	Séries divergentes 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ Sequência periódica

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