Integral singular
Em matemática, as integrais singulares são centrais na análise harmônica e estão intimamente relacionadas com o estudo das equações diferenciais parciais. De modo geral, uma integral singular é um operador integral da forma:
cuja função núcleo K : Rn×Rn → R é singular ao longo da diagonal x = y. Especificamente, a singularidade é tal que |K(x, y)| é assintoticamente de tamanho |x − y|−n como |x − y| → 0. Uma vez que tais integrais não são em geral absolutamente integráveis, uma definição rigorosa deve defini-las como o limite da integral no domíno restrito a |y − x| > ε quando ε → 0, mas na prática, isso é apenas uma tecnicalidade. Geralmente ainda são necessárias hipóteses para a obtenção de resultados, tais como a sua limitação em Lp(Rn).
A transformada de Hilbert
[editar | editar código-fonte]O arquétipo do operador integral singular é a transformada de Hilbert H. É dada pela convolução com o kernel K(x) = 1/(πx) para x na reta real. Mais precisamente,
A mais simples e direta extensão de maior dimensão são as transformadas de Riesz ,que substitui o núcleo K(x) = 1/x , com
onde i = 1, ..., n e é o i-ésimo componente de x em Rn. Todos esses operadores são limitados em Lp e satisfazem estimativas fracas do tipo (1, 1).[1]
Integrais singulares do tipo convolução
[editar | editar código-fonte]Uma integral singular do tipo convolução é um operador T definido por convolução com um núcleo K que é localmente integrável em Rn\{0}, no sentido de que
-
(1)
Suponha que o núcleo satisfaz:
1. A condição de tamanho sobre sua transformada de Fourier de K
2. A condição de suavidade: para algum C > 0,
Então, pode-se mostrar que T é limitado em Lp(Rn) e satisfaz estimativa fraca do tipo (1, 1).
Propriedade 1. É necessário garantir que a convolução (1) com o distribuição temperada p.v. K dada pelo valor principal da integral
é multiplicador de Fourier bem definido em L2. Nenhuma das propriedades 1 ou 2 é necessariamente fácil de verificar, mas diversas condições suficientes existem. Normalmente em aplicações, também se tem uma condição de cancelamento:
o que é bastante fácil de verificar. Ele é automático, por exemplo, se K é uma função ímpar. Se, além disso, supõe-se a condição 2 e a seguinte condição de tamanho:
então, pode-se mostrar que 1. segue.
A condição de suavidade 2. é também, muitas vezes, de difícil verificação a princípio. A seguinte condição suficiente pode ser usada:
Observe que estas condições são satisfeitas para a transformada de Hilbert e Riesz transforma, de modo que este resultado é uma extensão dos resultados.[2]
Integrais singulares de tipo não-convolucionais
[editar | editar código-fonte]Esta é uma classe de operadores ainda mais gerais. No entanto, diante destas hipóteses mais fracas, estes operadores nem sempre são limitados em Lp.
Núcleos de Calderón–Zygmund
[editar | editar código-fonte]Uma função K : Rn×Rn → R é dita ser um núcleo de Calderón–Zygmund se ela satisfaz as seguintes condições para algumas constantes C > 0 e δ > 0.
Integrais singulares não-convolucionais
[editar | editar código-fonte]T é dito ser um operador integral singular não-convolucional associado ao núcleo de Calderón–Zygmund K se
sempre que f e g são suaves e têm suporte disjunto. Tais operadores não precisam ser limitada em Lp
Operadores de Calderón–Zygmund
[editar | editar código-fonte]Uma integral singular não-convolucional T associada a um núcleo de Calderón–Zygmund K é chamado de operador de Calderón–Zygmund quando ele é limitado em L2, isto é, existe um C > 0 tal que
para todas as funções ƒ suaves de suporte compacto.
Pode-se provar que tais operadores são, na verdade, também limitados em todo Lp com 1 < p < ∞.
A teorema T(b)
[editar | editar código-fonte]A teorema T(b) fornece condições suficientes para um operador integral singular ser um operador de Calderón–Zygmund, isto é, condições para que um operador integral singular associado a um núcleo de Calderón–Zygmund seja limitado em L2. A fim de enunciar o resultado, é preciso primeiro definir alguns termos.
Um função de teste normalizada é uma função suave φ em Rn cujo suporte está contido uma esfera de raio 1 e centrada na origem tal que |∂α φ(x)| ≤ 1, para todo multi-ī índice |α| ≤ n + 2. Denote por τx(φ)(y) = φ(y − x) e φr(x) = r−nφ(x/r) para todo x em Rn e r > 0. Um operador é dito fracamente limitado se existe uma constante C tal que
para todas as funções de teste normalizadas φ e ψ. Uma função é dita ser acretiva se existe uma constante c > 0 tal que Re(b)(x) ≥ c para todo x em I. Denotar por Mb o operador dado pela multiplicação por uma função de b.
A teorema T(b) afirma que um operador integral singular T associado a um núcleo de Calderón–Zygmund é limitado em L2 se ele satisfaz todas as três condições que se seguem para duas funções acretivas limitadas quaisquer b1 e b2:[3]
(a) é fracamente limitadas;
(b) é função de oscilação média limitada;
(c) é função de oscilação média limitada, onde Tt é a transposta do operador T.
Referências
[editar | editar código-fonte]- ↑ Stein, Elias (1993). Harmonic Analysis. [S.l.]: Princeton University Press«Harmonic Analysis»
- ↑ Grafakos, Loukas (2004), «7», Classical and Modern Fourier Analysis, New Jersey: Pearson Education, Inc.
- ↑ «Opérateurs de Calderón–Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation» (em French). 1 !CS1 manut: Língua não reconhecida (link)
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Calderon, A. P.; Zygmund, A. (1952), «On the existence of certain singular integrals», Acta Mathematica, ISSN 0001-5962, 88 (1): 85–139, MR 0052553, Zbl 0047.10201, doi:10.1007/BF02392130.
- Calderon, A. P.; Zygmund, A. (1956), «On singular integrals», The Johns Hopkins University Press, American Journal of Mathematics, ISSN 0002-9327, 78 (2): 289–309, JSTOR 2372517, MR 0084633, Zbl 0072.11501, doi:10.2307/2372517.
- Coifman, Ronald; Meyer, Yves (1997), Wavelets: Calderón-Zygmund and multilinear operators, ISBN 0-521-42001-6, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 48, Cambridge University Press, pp. xx+315, MR 1456993, Zbl 0916.42023.
- Mikhlin, Solomon G. (1948), «Singular integral equations», UMN, 3 (3(25)): 29–112, MR 27429 (in Russian).
- Mikhlin, Solomon G. (1965), Multidimensional singular integrals and integral equations, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, 83, Oxford–London–Edinburgh–New York City–Paris–Frankfurt: Pergamon Press, pp. XII+255, MR 0185399, Zbl 0129.07701.
- Mikhlin, Solomon G.; Prössdorf, Siegfried (1986), Singular Integral Operators, ISBN 0-387-15967-3, Berlin–Heidelberg–New York City: Springer Verlag, MR 0867687, Zbl 0612.47024, (European edition: ISBN 3-540-15967-3).
- Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, ISBN 0-691-08079-8, Princeton Mathematical Series, 30, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. XIV+287, MR 0290095, Zbl 0207.13501
Ligações externas
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