Espaço topológico
Espaços topológicos são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como convergência, conexidade e continuidade. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da matemática moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado topologia.
Definição
[editar | editar código-fonte]Uma topologia em um conjunto é uma coleção de partes de chamados os abertos da topologia, com as seguintes propriedades:
- O conjunto vazio e o próprio conjunto X são abertos:
- A interseção de dois conjuntos abertos é um aberto: Se então
- A união de uma família arbitrária (finita ou infinita) de abertos é um aberto: Dada uma família arbitrária com tem-se
Um espaço topológico é um par onde é um conjunto e é uma topologia em
Exemplos
[editar | editar código-fonte]- Se é um conjunto, a topologia no qual é o conjunto das partes de é denominada a topologia discreta sobre
- Se é um conjunto, a topologia é denominada a topologia grosseira sobre
- Um espaço métrico tem uma estrutura natural de espaço topológico para definido como o conjunto das reuniões de bolas abertas
- Nada impede que, a um conjunto , esteja associada mais de uma topologia, por exemplo, e Quando todo aberto de for um aberto de diz-se que a topologia é mais grossa que ou, analogamente, que é mais fina que Como o próprio nome indica, a topologia grosseira é mais grossa que qualquer outra, e a topologia discreta é mais fina que qualquer outra.
Fechados
[editar | editar código-fonte]Um subconjunto de um espaço topológico diz-se fechado se o seu complementar for aberto.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]- Dada uma família não-vazia de topologias a sua interseção é uma topologia.
- Essa propriedade permite construir topologias mínimas, ou seja, a menor topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
- Por exemplo, dada uma coleção S de subconjuntos de X (ou seja, ), sabemos que existe uma topologia que contém S, a topologia discreta Portanto, a família F de todas as topologias que contém S não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia gerada por S, e S é uma sub-base desta topologia.
- Seja uma topologia em X, e Para tornar Y um subespaço topológico, existe uma topologia canônica em Y, Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de função contínua. A função inclusão é contínua para a topologia discreta em Y, portanto a família de todas as topologias em Y para as quais i é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de Y é precisamente a menor topologia que torna a inclusão uma função contínua.
Referências
[editar | editar código-fonte]- Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9
- Lima, Elon Lages (1976). Elementos de topologia geral. [S.l.]: LTC
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