Espaço de Wiener abstrato
Um espaço de Wiener abstrato é um objeto matemático em teoria da medida, usado para construir uma medida razoável (estritamente positiva e localmente finita) de um espaço vetorial de dimensões infinitas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener. A construção original de Wiener, conhecida como espaço de Wiener clássico, só se aplicava ao espaço de caminhos contínuos de valores reais referentes ao intervalo unitário. Leonard Gross[1] propôs a generalização ao caso de um espaço de Banach separável comum.
O teorema da estrutura para medidas gaussianas afirma que todas as medidas gaussianas podem ser representadas pela construção de um espaço de Wiener abstrato.
Definição
[editar | editar código-fonte]Considere um espaço de Hilbert separável, um espaço de Banach separável e um operador linear contínuo injetor com imagem densa (isto é, o fechamento de em é o próprio ) que radonifica a medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico em . Então, o triplo (ou simplesmente ) é chamado de espaço de Wiener abstrato. A medida induzida em é chamada de medida de Wiener abstrata de .
O espaço de Hilbert é às vezes chamado de espaço de Cameron-Martin ou espaço de Hilbert com núcleo reprodutor.
Algumas fontes[2] consideram um subespaço de Hilbert densamente incorporado do espaço de Banach , sendo simplesmente a inclusão de em . Não há perda de generalização ao tomar o ponto de vista dos "espaços incorporados" em vez do ponto de vista dos "espaços diferentes" mencionado acima.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]- é uma medida de Borel: é definida na sigma-álgebra de Borel gerada pelos subconjuntos abertos de .
- é uma medida gaussiana no sentido de que é uma medida gaussiana em para toda forma linear , .
- Portanto, é estritamente positiva e localmente finita.
- Se é um espaço de Banach de dimensões finitas, podemos considerar que é isomórfico a para algum . Considerar e o isomorfismo canônico dá a medida de Wiener abstrata , a medida gaussiana padrão de .
- O comportamento de sob translação é descrito pelo teorema de Cameron-Martin.
- Dados dois espaços de Wiener abstratos e , pode-se mostrar que 12 . Em detalhe:
- isto é, a medida de Wiener abstrata 12 no produto cartesiano é o produto das medidas de Wiener abstratas nos dois fatores e .
- Se (e ) são de infinitas dimensões, a imagem de é um conjunto de medida zero, isto é, . Este fato é uma consequência da lei zero-um de Kolmogorov.
Espaço de Wiener clássico
[editar | editar código-fonte]O espaço de Wiener abstrato mais usado é o espaço de caminhos contínuos, conhecido como espaço de Wiener clássico. Este é o espaço de Wiener abstrato com
com produto interno
com norma
e função inclusão . Esta medida é chamada de medida de Wiener clássica ou simplesmente medida de Wiener.
Referências
- ↑ Gross, Leonard (1 de janeiro de 1967). «Abstract Wiener spaces». The Regents of the University of California (em inglês)
- ↑ Bell, Denis R. (1 de janeiro de 2006). The Malliavin Calculus (em inglês). [S.l.]: Dover Publications. ISBN 9780486449944
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