Zasada wyborów zależnych, DC (od ang. dependent choice) – konsekwencja aksjomatu wyboru, która bywa często przyjmowana za dodatkowy aksjomat (istotnie słabszy od aksjomatu wyboru) do aksjomatyki Zermela-Fraenkla (ZF). Ściślej mówiąc, DC to zdanie:

Niech X będzie zbiorem oraz niech R ⊆ X × X będzie taką relacją, że dla każdego x ∈ X istnieje takie y ∈ X, że (x, y) ∈ R. Wówczas istnieje taki ciąg (x_n) elementów zbioru X, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi (x_n, x_n+1) ∈ R.

• Zasada wyborów zależnych implikuje przeliczalny pewnik wyboru, to znaczy istnienie funkcji wyboru dla dowolnej przeliczalnej rodziny zbiorów niepustych.

Dowód. Niech (S_n) będzie ciągiem zbiorów niepustych. Niech S oznacza sumę rozłączną rodziny (S_n), tj. zbiór par (x, n), gdzie x ∈ S_n, n – liczba naturalna. W zbiorze S można zdefiniować relację R ⊆ S × S poprzez warunek

(x, n) R (y, m) wtedy i tylko wtedy, gdy m = n +1.

Jeżeli (x, n) ∈ S, to (x, n) R (y, n + 1), gdzie y jest dowolnym elementem S_n+1, a więc można zastosować w stosunku do R zasadę wyborów zależnych. Oznacza to, że istnieje taki ciąg ((x_n, M_n)) elementów S, że (x_n, M_n) R (x_n+1, M_n+1). Ponadto, stosując indukcję matematyczną można pokazać, że M_n = M + n dla każdej liczby naturalnej n i pewnej liczby M. W szczególności, x_n ∈ S_{n + M} dla każdej liczby naturalnej n. Iloczyn kartezjański S₁ × S₁ × ... × S_M jest niepusty; niech (y₁, y₂, ..., y_M) będzie jego dowolnym elementem. Ostatecznie, funkcja f: {1, 2, 3, ... } → ∪_n S_n dana wzorem f(n) = y_n, gdy n ≤ M oraz f(n) = x_{M - n}, gdy n > M jest funkcją wyboru dla rodziny (S_n). □

• Zasada wyborów zależnych jest równoważna (na gruncie ZF) z twierdzeniem Baire’a dla przestrzeni metrycznych zupełnych^[1].

• Thomas JT.J. Jech Thomas JT.J., Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, wyd. The 3rd millennium ed., rev. and expanded, Berlin: Springer, 2003, ISBN 3-540-44085-2, OCLC 50422939 . Brak numerów stron w książce