Krzywa przestrzenna, wektory T
≡
{\displaystyle \equiv }
t , N
≡
{\displaystyle \equiv }
n , B
≡
{\displaystyle \equiv }
b i płaszczyzna ściśle styczna rozpięta na wektorach T , N i o wektorze normalnym B . Wzory Fréneta , wzory Fréneta-Serreta – wzory wyrażające zależności pomiędzy wektorami tworzącymi krawędzie tzw. trójścianu Freneta, zaczepionymi w pewnym punkcie badanej krzywej i określającymi jej geometryczne własności przestrzenne w tym punkcie.
W zapisie wektorowym wzory Freneta mają następującą postać
d
r
d
s
=
t
,
|
t
|
=
1
,
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds))=\mathbf {t} ,\quad |\mathbf {t} |=1,}
d
t
d
s
=
1
ρ
n
=
N
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {t} }{ds))={\frac {1}{\rho ))\,\mathbf {n} =\mathbf {N} }
d
n
d
s
=
−
1
ρ
t
−
1
τ
b
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {n} }{ds))=-{\frac {1}{\rho ))\mathbf {t} -{\frac {1}{\tau ))\mathbf {b} }
d
b
d
s
=
1
τ
n
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {b} }{ds))={\frac {1}{\tau ))\,\mathbf {n} }
gdzie[1] :
s
{\displaystyle s}
– parametr naturalny krzywej (długość łuku),
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
– wektor wodzący punktu na krzywej,
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
– wektor styczny ,
n
(
=
ρ
N
)
{\displaystyle \mathbf {n} \;(=\rho \mathbf {N} )}
– wektor normalnej głównej,
b
(
=
ρ
H
)
{\displaystyle \mathbf {b} \;(=\rho \mathbf {H} )}
– wektor binormalny ,
N
{\displaystyle \mathbf {N} }
– wektor krzywizny,
ρ
{\displaystyle \rho }
– promień krzywizny,
κ
(
=
1
ρ
)
{\displaystyle \kappa \;(={\tfrac {1}{\rho )))}
– krzywizna krzywej ,
τ
{\displaystyle \tau }
– promień torsji krzywej (promień drugiej krzywizny),
T
(
=
1
τ
)
{\displaystyle T\;(={\tfrac {1}{\tau )))}
– torsja krzywej (druga krzywizna),
H
(
A
,
B
,
C
)
,
G
(
L
,
M
,
N
)
{\displaystyle \mathbf {H} (A,B,C),\,\mathbf {G} (L,M,N)}
– wektory normalne płaszczyzn: ściśle stycznej i prostującej.Z punktem
P
{\displaystyle P}
na krzywej przestrzennej
K
{\displaystyle K}
można związać dwa lokalne układy ortogonalnych osi liczbowych. Pierwszy z nich jest nieruchomy, prawoskrętny i określony przez wersory
i
,
j
,
k
.
{\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} .}
Drugi prawoskrętny układ wersorów
t
,
n
,
b
{\displaystyle \mathbf {t} ,\,\mathbf {n} ,\,\mathbf {b} }
jest związany z krzywą i określa trzy istotne kierunki: styczny, normalny i binormalny. Dwa pierwsze wyznaczone są przez wersory
t
=
r
′
=
x
′
i
+
y
′
j
+
z
′
k
,
{\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {r} ^{'}=x^{'}\mathbf {i} +y^{'}\mathbf {j} +z^{'}\mathbf {k} ,}
n
=
ρ
t
′
=
ρ
(
x
″
i
+
y
″
j
+
z
″
k
)
,
t
′
=
N
,
{\displaystyle \mathbf {n} =\rho \,\mathbf {t} ^{'}=\rho \,(x^{''}\mathbf {i} +y^{''}\mathbf {j} +z^{''}\mathbf {k} ),\quad \mathbf {t} ^{'}=\mathbf {N} ,}
(1.1)
gdzie:
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
+
(
z
″
)
2
,
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2)))),}
(1.2)
a trzeci jest definiowany[1] wzorem
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
x
′
y
′
z
′
ρ
x
″
ρ
y
″
ρ
z
″
|
=
ρ
[
(
y
′
z
″
−
z
′
y
″
)
i
+
(
z
′
x
″
−
x
′
z
″
)
j
+
(
x
′
y
″
−
y
′
x
″
)
k
]
=
ρ
(
A
i
+
B
j
+
C
k
)
=
ρ
H
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} &=\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x^{'}&y^{'}&z^{'}\\\rho x^{''}&\rho y^{''}&\rho z^{''}\end{vmatrix))\\[1ex]&=\rho {\Big [}(y^{'}z^{''}-z^{'}y^{''})\,\mathbf {i} +(z^{'}x^{''}-x^{'}z^{''})\,\mathbf {j} \\[1ex]&\quad +(x^{'}y^{''}-y^{'}x^{''})\,\mathbf {k} {\Big ]}\\[1ex]&=\rho \,{\big (}A\,\mathbf {i} +B\,\mathbf {j} +C\,\mathbf {k} {\big )}=\rho \mathbf {H} .\end{aligned))}
(1.3)
Jeżeli krzywa
S
{\displaystyle S}
leży na płaszczyźnie
π
{\displaystyle \pi }
o normalnej
w
,
{\displaystyle \mathbf {w} ,}
to wektor binormalnej
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
do tej krzywej w każdym jej punkcie jest stały i
b
=
w
.
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {w} .}
Płaszczyzna
π
{\displaystyle \pi }
jest w tym przypadku płaszczyzną ściśle styczną dla dowolnego punktu krzywej
S
.
{\displaystyle S.}
W analizie przestrzennych właściwości krzywych istotną rolę odgrywają pochodne wersorów krawędzi trójścianu Freneta.
Na podstawie wzoru (1.1) mamy
t
′
=
N
=
1
ρ
n
{\displaystyle \mathbf {t} ^{'}=\mathbf {N} ={\tfrac {1}{\rho ))\mathbf {n} }
(1.4)
i różniczkując wzór (1.3) , otrzymujemy
b
′
=
t
′
×
n
+
t
×
n
′
=
N
×
n
+
t
×
n
′
=
t
×
n
′
,
{\displaystyle \mathbf {b} ^{'}=\mathbf {t} ^{'}\!\times \mathbf {n} +\mathbf {t} \times \mathbf {n} ^{'}=\mathbf {N} \times \mathbf {n} +\mathbf {t} \times \mathbf {n} ^{'}=\mathbf {t} \times \mathbf {n} ^{'},}
(1.5)
ponieważ
N
{\displaystyle \mathbf {N} }
i
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
są kolinearne. Ponadto z (1.5) wynika, że
b
′
⋅
t
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {b} ^{'}\cdot \mathbf {t} =0,}
a ponieważ również
b
′
⋅
b
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {b} ^{'}\cdot \mathbf {b} =0,}
więc
b
′
=
1
τ
n
,
{\displaystyle \mathbf {b} ^{'}={\frac {1}{\tau ))\mathbf {n} ,}
(1.6)
gdzie
1
τ
=
T
{\displaystyle {\frac {1}{\tau ))=T}
jest torsją krzywej w punkcie
P
,
{\displaystyle P,}
określoną wzorem (1.8) .
Teraz można już obliczyć pochodną normalnej głównej, korzystając ze wzoru
n
=
b
×
t
{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {b} \times \mathbf {t} }
n
′
=
−
(
t
×
b
)
′
=
−
t
′
×
b
−
t
×
b
′
=
−
1
ρ
n
×
b
−
1
τ
t
×
n
=
−
1
ρ
t
−
1
τ
b
=
−
κ
t
−
T
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {n} ^{'}&=-(\mathbf {t} \times \mathbf {b} )^{'}=-\mathbf {t} ^{'}\!\times \mathbf {b} -\mathbf {t} \times \mathbf {b} ^{'}\\[1ex]&=-{\frac {1}{\rho ))\,\mathbf {n} \times \mathbf {b} -{\frac {1}{\tau ))\mathbf {t} \times \mathbf {n} \\[1ex]&=-{\frac {1}{\rho ))\,\mathbf {t} -{\frac {1}{\tau ))\mathbf {b} =-\kappa \mathbf {t} -T\mathbf {b} .\end{aligned))}
(1.7)
Poniższa tabelka zawiera kosinusy kierunkowe wersorów Freneta osi stycznej, normalnej i binormalnej z kierunkami osi
0
x
,
0
y
,
0
z
.
{\displaystyle 0x,\,0y,\,0z.}
x
y
z
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
α
1
{\displaystyle \alpha _{1))
β
1
{\displaystyle \beta _{1))
γ
1
{\displaystyle \gamma _{1))
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
α
2
{\displaystyle \alpha _{2))
β
3
{\displaystyle \beta _{3))
γ
2
{\displaystyle \gamma _{2))
Wzory dla pochodnych wersorów Freneta zestawiono poniżej[1] .
i
{\displaystyle \mathbf {i} }
j
{\displaystyle \mathbf {j} }
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
t
′
{\displaystyle \mathbf {t} ^{'))
α
1
ρ
{\displaystyle {\frac {\alpha _{1)){\rho ))}
β
1
ρ
{\displaystyle {\frac {\beta _{1)){\rho ))}
γ
1
ρ
{\displaystyle {\frac {\gamma _{1)){\rho ))}
n
′
{\displaystyle \mathbf {n} ^{'))
−
α
ρ
−
α
2
τ
{\displaystyle -{\frac {\alpha }{\rho ))-{\frac {\alpha _{2)){\tau ))}
−
β
ρ
−
β
2
τ
{\displaystyle -{\frac {\beta }{\rho ))-{\frac {\beta _{2)){\tau ))}
−
γ
ρ
−
γ
2
τ
{\displaystyle -{\frac {\gamma }{\rho ))-{\frac {\gamma _{2)){\tau ))}
b
′
{\displaystyle \mathbf {b} ^{'))
α
1
τ
{\displaystyle {\frac {\alpha _{1)){\tau ))}
β
1
τ
{\displaystyle {\frac {\beta _{1)){\tau ))}
γ
1
τ
{\displaystyle {\frac {\gamma _{1)){\tau ))}
Torsję krzywej można obliczyć, korzystając ze wzoru (1.6) po uwzględnieniu (1.1) i (1.5)
T
=
1
τ
=
b
′
⋅
n
=
=
(
t
×
n
′
)
⋅
n
=
[
t
×
(
ρ
N
)
′
]
⋅
ρ
N
=
=
[
t
×
(
ρ
′
N
+
ρ
N
′
)
]
⋅
ρ
N
=
=
ρ
2
(
t
×
N
′
)
⋅
N
=
−
ρ
2
(
r
′
×
r
″
)
⋅
r
‴
=
=
−
ρ
2
|
x
′
y
′
z
′
x
″
y
″
z
″
x
‴
y
‴
z
‴
|
,
{\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{\tau ))=\mathbf {b} ^{'}\cdot \mathbf {n} =\\[1ex]&=(\mathbf {t} \times \mathbf {n} ^{'})\cdot \mathbf {n} ={\big [}\mathbf {t} \times (\rho \mathbf {N} )^{'}{\big ]}\cdot \rho \mathbf {N} =\\[1ex]&={\big [}\mathbf {t} \times (\rho ^{'}\mathbf {N} +\rho \mathbf {N} ^{'}){\big ]}\cdot \rho \mathbf {N} =\\[1ex]&=\rho ^{2}(\mathbf {t} \times \mathbf {N} ^{'})\cdot \mathbf {N} =-\rho ^{2}(\mathbf {r} ^{'}\times \mathbf {r} ^{''})\cdot \mathbf {r} ^{'''}=\\[1ex]&=-\rho ^{2}\;{\begin{vmatrix}x^{'}&y^{'}&z^{'}\\x^{''}&y^{''}&z^{''}\\x^{'''}&y^{'''}&z^{'''}\end{vmatrix)),\end{aligned))}
(1.8)
dzięki temu, że
(
t
×
N
)
⋅
N
=
0.
{\displaystyle (\mathbf {t} \times \mathbf {N} )\cdot \mathbf {N} =0.}
Torsja
T
{\displaystyle T}
określona w dowolnym punkcie
P
{\displaystyle P}
krzywej
K
{\displaystyle K}
wzorem
b
′
⋅
n
{\displaystyle \mathbf {b} ^{'}\!\cdot \mathbf {n} }
stanowi pewną miarę zwichrowania tej krzywej w bliskim otoczeniu punktu
P
.
{\displaystyle P.}
Polega ono na wychylaniu się krzywej z jej płaszczyzny ściśle do niej stycznej w tym punkcie. Gdy torsja ma wartość zerową krzywa w otoczeniu punktu
P
{\displaystyle P}
jest płaska, bez zwichrowania.
Dana jest krzywa przestrzenna
K
{\displaystyle K}
opisana parametrycznie równaniami[2]
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
,
z
=
z
(
t
)
.
{\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t).}
(1)
Na tej krzywej wyróżnimy dwa punkty
P
o
(
x
o
,
y
o
,
z
o
)
,
{\displaystyle P_{o}(x_{o},\,y_{o},\,z_{o}),}
P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle P_{1}(x_{1},\,y_{1},z_{1})}
odpowiadające dwom wartościom
t
o
,
t
1
{\displaystyle t_{o},\,t_{1))
parametru
t
.
{\displaystyle t.}
Przez te punkty przechodzi sieczna opisana równaniem
x
−
x
o
x
1
−
x
o
=
y
−
y
o
y
1
−
y
o
=
z
−
z
o
z
1
−
z
o
.
{\displaystyle {\frac {x-x_{o)){x_{1}-x_{o))}={\frac {y-y_{o)){y_{1}-y_{o))}={\frac {z-z_{o)){z_{1}-z_{o))}.}
(2)
Dzieląc mianowniki przez
t
1
−
t
o
{\displaystyle t_{1}-t_{o))
i przechodząc do granicy
t
1
→
t
o
,
{\displaystyle t_{1}\to t_{o},}
otrzymujemy równanie linii stycznej do krzywej
K
{\displaystyle K}
w punkcie
P
o
{\displaystyle P_{o))
x
−
x
o
x
˙
o
=
y
−
y
o
y
˙
o
=
z
−
z
o
z
˙
o
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{o))((\dot {x))_{o))}={\frac {y-y_{o))((\dot {y))_{o))}={\frac {z-z_{o))((\dot {z))_{o))},}
(3)
gdzie przez
x
˙
o
,
y
˙
o
,
z
˙
o
{\displaystyle {\dot {x))_{o},\,{\dot {y))_{o},\,{\dot {z))_{o))
oznaczono pochodne względem parametru liczone w punkcie
P
o
.
{\displaystyle P_{o}.}
Równanie o postaci (3) jest konsekwencją kolinearności wektorów
r
−
r
o
{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{o))
i
r
˙
o
.
{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} ))_{o}.}
Równanie płaszczyzny normalnej
σ
o
{\displaystyle \sigma _{o))
(prostopadłej) do krzywej w punkcie
P
o
{\displaystyle P_{o))
można zapisać w postaci[2] iloczynu skalarnego wektora stycznego do niej z dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie
σ
o
{\displaystyle \sigma _{o))
r
˙
o
⋅
(
r
−
r
o
)
=
x
˙
o
(
x
−
x
o
)
+
y
˙
o
(
y
−
y
o
)
+
z
˙
o
(
z
−
z
o
)
=
0.
{\displaystyle \mathbf {\dot {r)) _{o}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o})={\dot {x))_{o}(x-x_{o})+{\dot {y))_{o}(y-y_{o})+{\dot {z))_{o}(z-z_{o})=0.}
(4)
Równanie płaszczyzny ściśle stycznej
π
o
{\displaystyle \pi _{o))
do krzywej w punkcie
P
o
{\displaystyle P_{o))
zapiszemy w postaci
H
o
⋅
(
r
−
r
0
)
=
A
(
x
−
x
o
)
+
B
(
y
−
y
o
)
+
C
(
z
−
z
0
)
=
0.
{\displaystyle \mathbf {H} _{o}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=A(x-x_{o})+B(y-y_{o})+C(z-z_{0})=0.}
(5)
Problem polega teraz na tym, aby określić współrzędne
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,\,B,\,C}
takiego wektora
H
o
,
{\displaystyle \mathbf {H} _{o},}
który byłby prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej
π
o
.
{\displaystyle \pi _{o}.}
Rozważmy równanie takiej płaszczyzny
π
1
,
{\displaystyle \pi _{1},}
na której leży styczna i która
przechodzi przez punkt
P
o
{\displaystyle P_{o))
– a zatem każdy jej wektor
r
−
r
o
{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{o))
jest prostopadły do
H
1
:
{\displaystyle \mathbf {H} _{1}{:))
H
1
⋅
(
r
−
r
o
)
=
A
1
(
x
−
x
o
)
+
B
1
(
y
−
y
o
)
+
C
1
(
z
−
z
0
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {H} _{1}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o})=A_{1}(x-x_{o})+B_{1}(y-y_{o})+C_{1}(z-z_{0})=0}
(6)
oraz
każdy wektor
r
1
−
r
o
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{o))
leżący na płaszczyźnie
π
1
{\displaystyle \pi _{1))
jest prostopadły do
H
1
:
{\displaystyle \mathbf {H} _{1}{:))
H
1
⋅
(
r
1
−
r
o
)
=
A
1
(
x
1
−
x
o
)
+
B
1
(
y
1
−
y
o
)
+
C
1
(
z
1
−
z
0
)
=
0.
{\displaystyle \mathbf {H} _{1}\cdot (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{o})=A_{1}(x_{1}-x_{o})+B_{1}(y_{1}-y_{o})+C_{1}(z_{1}-z_{0})=0.}
(7)
Wektor
H
1
{\displaystyle \mathbf {H} _{1))
jest również prostopadły do wektora stycznego
r
˙
o
,
{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} ))_{o},}
który leży na
π
1
:
{\displaystyle \pi _{1}{:))
H
1
⋅
r
˙
o
=
A
1
x
˙
o
+
B
1
y
˙
o
+
C
1
z
˙
o
=
0.
{\displaystyle \mathbf {H} _{1}\cdot {\dot {\mathbf {r} ))_{o}=A_{1}{\dot {x))_{o}+B_{1}{\dot {y))_{o}+C_{1}{\dot {z))_{o}=0.}
(8)
Wykorzystując wzór Taylora zamiast (7) , możemy napisać
A
1
(
h
x
˙
o
+
1
2
h
2
x
¨
λ
)
+
B
1
(
h
y
˙
o
+
1
2
h
2
y
¨
λ
)
+
C
1
(
h
z
˙
o
+
1
2
h
2
z
¨
λ
)
=
0
,
{\displaystyle A_{1}(h{\dot {x))_{o}+{\tfrac {1}{2))h^{2}{\ddot {x))_{\lambda })+B_{1}(h{\dot {y))_{o}+{\tfrac {1}{2))h^{2}{\ddot {y))_{\lambda })+C_{1}(h{\dot {z))_{o}+{\tfrac {1}{2))h^{2}{\ddot {z))_{\lambda })=0,}
(9)
gdzie
h
=
t
1
−
t
o
,
λ
=
x
o
+
θ
h
,
0
<
θ
<
1.
{\displaystyle h=t_{1}-t_{o},\quad \lambda =x_{o}+\theta h,\quad 0<\theta <1.}
Po uwzględnieniu (8) i (9) otrzymujemy
A
1
x
¨
λ
+
B
1
y
¨
λ
+
C
1
z
¨
λ
=
0.
{\displaystyle A_{1}{\ddot {x))_{\lambda }+B_{1}{\ddot {y))_{\lambda }+C_{1}{\ddot {z))_{\lambda }=0.}
(10)
Można teraz z (8) i (10) wyznaczyć niewiadome
A
1
B
1
,
C
1
{\displaystyle A_{1}\;B_{1},\,C_{1))
i na podstawie (6) otrzymuje się, po przejściu do granicy
t
1
→
t
o
{\displaystyle t_{1}\to t_{o))
(
y
˙
o
z
¨
o
−
z
˙
o
y
¨
o
)
(
x
−
x
o
)
+
(
z
˙
o
x
¨
o
−
x
˙
o
z
¨
o
)
(
y
−
y
o
)
+
(
x
˙
o
y
¨
o
−
y
˙
o
x
¨
o
)
(
z
−
z
o
)
.
{\displaystyle ({\dot {y))_{o}{\ddot {z))_{o}-{\dot {z))_{o}{\ddot {y))_{o})(x-x_{o})+({\dot {z))_{o}{\ddot {x))_{o}-{\dot {x))_{o}{\ddot {z))_{o})(y-y_{o})+({\dot {x))_{o}{\ddot {y))_{o}-{\dot {y))_{o}{\ddot {x))_{o})(z-z_{o}).}
(11)
Tak więc wektor
H
o
{\displaystyle \mathbf {H} _{o))
prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ma współrzędne
A
=
y
˙
o
z
¨
o
−
z
˙
o
y
¨
o
,
B
=
z
˙
o
x
¨
o
−
x
˙
o
z
¨
o
,
C
=
x
˙
o
y
¨
o
−
y
˙
o
x
¨
o
.
{\displaystyle A={\dot {y))_{o}{\ddot {z))_{o}-{\dot {z))_{o}{\ddot {y))_{o},\quad B={\dot {z))_{o}{\ddot {x))_{o}-{\dot {x))_{o}{\ddot {z))_{o},\quad C={\dot {x))_{o}{\ddot {y))_{o}-{\dot {y))_{o}{\ddot {x))_{o}.}
(12)
Przez punkt
P
o
{\displaystyle P_{o))
krzywej
K
{\displaystyle K}
przechodzą trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny tworzące trójścian Freneta [3] :
ściśle styczna (o wektorze normalnym
H
0
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{0}(A,B,C)}
) – równanie (5) i (12) ,
normalna (o wektorze normalnym
r
˙
0
(
x
˙
0
,
y
˙
0
,
z
˙
0
)
{\displaystyle \mathbf {\dot {r)) _{0}({\dot {x))_{0},{\dot {y))_{0},{\dot {z))_{0})}
) – równanie (4) ,
prostująca (o wektorze normalnym
G
0
(
L
,
M
,
N
)
{\displaystyle \mathbf {G} _{0}(L,M,N)}
) – prostopadła do dwu poprzednich. Jej równanie ma postać
G
o
⋅
(
r
−
r
o
)
=
L
(
x
−
x
o
)
+
M
(
y
−
y
o
)
+
N
(
z
−
z
o
)
=
0.
{\displaystyle \mathbf {G} _{o}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o})=L(x-x_{o})+M(y-y_{o})+N(z-z_{o})=0.}
(13)
Wektor
G
o
=
(
L
,
M
,
N
)
{\displaystyle \mathbf {G} _{o}=(L,\,M,\,N)}
jest prostopadły do obydwu wektorów
H
o
=
(
A
,
B
,
C
)
{\displaystyle \mathbf {H} _{o}=(A,\,B,\,C)}
i
r
˙
o
=
(
x
˙
o
,
y
˙
o
,
z
˙
o
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} ))_{o}=({\dot {x))_{o},\,{\dot {y))_{o},\,{\dot {z))_{o})}
i dlatego muszą być spełnione dwa równania
H
o
⋅
G
o
=
A
L
+
B
M
+
C
N
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {H} _{o}\cdot \mathbf {G} _{o}=AL+BM+CN=0,}
(14)
r
˙
o
⋅
G
o
=
x
˙
o
L
+
y
˙
o
M
+
z
˙
o
N
=
0.
{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} ))_{o}\cdot \mathbf {G} _{o}={\dot {x))_{o}L+{\dot {y))_{o}M+{\dot {z))_{o}N=0.}
(15)
Rozwiązanie równań (13) i (15) ma postać wzorów
L
=
B
z
˙
o
−
C
y
˙
o
,
M
=
C
x
˙
o
−
A
z
˙
o
,
N
=
A
y
˙
o
−
B
x
˙
o
.
{\displaystyle L=B{\dot {z))_{o}-C{\dot {y))_{o},\quad M=C{\dot {x))_{o}-A{\dot {z))_{o},\quad N=A{\dot {y))_{o}-B{\dot {x))_{o}.}
(16)
Krawędziami trójścianu Freneta są proste:
styczna – o wersorze
t
{\displaystyle \mathbf {t} }
i równaniu (3) ,
normalna główna – o wersorze
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
i prostopadła do płaszczyzny prostującej, określona równaniem
x
−
x
o
L
=
y
−
y
o
M
=
z
−
z
o
N
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{o)){L))={\frac {y-y_{o)){M))={\frac {z-z_{o)){N)),}
(17)
binormalna – o wersorze
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
i prostopadła do płaszczyzny ściśle stycznej, określona równaniem
x
−
x
o
A
=
y
−
y
o
B
=
z
−
z
o
C
.
{\displaystyle {\frac {x-x_{o)){A))={\frac {y-y_{o)){B))={\frac {z-z_{o)){C)).}
(18)
Zachodzą przy tym następujące tożsamości
L
x
¨
o
+
M
y
¨
o
+
N
z
¨
o
≡
A
2
+
B
2
+
C
2
{\displaystyle L{\ddot {x))_{o}+M{\ddot {y))_{o}+N{\ddot {z))_{o}\equiv A^{2}+B^{2}+C^{2}\quad {))
(lub
G
o
⋅
r
¨
o
≡
H
o
2
{\displaystyle {}\ \mathbf {G} _{o}\cdot {\ddot {\mathbf {r} ))_{o}\equiv \mathbf {H} _{o}^{2))
),
(19)
L
2
+
M
2
+
N
2
≡
(
x
˙
o
2
+
y
˙
o
2
+
z
˙
o
2
)
(
A
2
+
B
2
+
C
2
)
{\displaystyle L^{2}+M^{2}+N^{2}\equiv ({\dot {x))_{o}^{2}+{\dot {y))_{o}^{2}+{\dot {z))_{o}^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})\quad {))
(lub
G
o
2
≡
r
˙
o
2
H
o
2
{\displaystyle {}\ \mathbf {G} _{o}^{2}\equiv {\dot {\mathbf {r} ))_{o}^{2}\mathbf {H} _{o}^{2))
).
(20)
Krzywizna i torsja krzywej Płaszczyzna normalna do krzywej
K
{\displaystyle K}
w jej punkcie
P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle P_{1}(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})}
opisana jest równaniem
t
1
⋅
(
r
−
r
1
)
=
x
˙
1
(
x
−
x
1
)
+
y
˙
1
(
y
−
y
1
)
+
z
˙
(
z
−
z
1
)
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {t} _{1}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})={\dot {x))_{1}(x-x_{1})+{\dot {y))_{1}(y-y_{1})+{\dot {z))(z-z_{1})=0,}
(21)
gdzie
t
1
{\displaystyle \mathbf {t} _{1))
jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie
P
1
.
{\displaystyle P_{1}.}
Przecina ona normalną główną (17) w punkcie
S
1
{\displaystyle S_{1))
o współrzędnych
x
=
x
o
+
L
λ
,
y
=
y
o
+
M
λ
,
z
=
z
o
+
N
λ
.
{\displaystyle x=x_{o}+L\lambda ,\quad y=y_{o}+M\lambda ,\quad z=z_{o}+N\lambda .}
(22)
Po podstawieniu (22) do (21) i uwzględnieniu (15) otrzymujemy wartość parametru
λ
s
=
x
˙
1
(
x
1
−
x
o
)
+
y
˙
1
(
y
1
−
y
o
)
+
z
˙
1
(
z
1
−
z
o
)
L
(
x
˙
1
−
x
˙
o
)
+
M
(
y
˙
1
−
y
˙
o
)
+
N
(
z
˙
1
−
z
˙
o
)
{\displaystyle \lambda _{s}={\frac ((\dot {x))_{1}(x_{1}-x_{o})+{\dot {y))_{1}(y_{1}-y_{o})+{\dot {z))_{1}(z_{1}-z_{o})}{L({\dot {x))_{1}-{\dot {x))_{o})+M({\dot {y))_{1}-{\dot {y))_{o})+N({\dot {z))_{1}-{\dot {z))_{o})))}
(23)
określającą położenie punktu
S
1
{\displaystyle S_{1))
na kierunku normalnej głównej.
Po podzieleniu licznika i mianownika przez
t
1
−
t
o
{\displaystyle t_{1}-t_{o))
i po przejściu do granicy
t
1
→
t
o
{\displaystyle t_{1}\to t_{o))
otrzymujemy
λ
o
=
x
˙
o
2
+
y
˙
o
2
+
z
˙
o
2
L
x
¨
o
+
M
y
¨
o
+
N
z
¨
o
.
{\displaystyle \lambda _{o}={\frac ((\dot {x))_{o}^{2}+{\dot {y))_{o}^{2}+{\dot {z))_{o}^{2)){L{\ddot {x))_{o}+M{\ddot {y))_{o}+N{\ddot {z))_{o))}.}
(24)
Gdy punkt
P
1
{\displaystyle P_{1))
dąży do punktu
P
o
{\displaystyle P_{o))
punkt
S
1
{\displaystyle S_{1))
dąży do punktu
S
o
{\displaystyle S_{o))
o współrzędnych
x
∗
=
x
o
+
L
λ
o
,
y
∗
=
y
o
+
M
λ
o
,
z
∗
=
z
o
+
N
λ
o
.
{\displaystyle x_{*}=x_{o}+L\lambda _{o},\quad y_{*}=y_{o}+M\lambda _{o},\quad z_{*}=z_{o}+N\lambda _{o}.}
(25)
Po wykorzystaniu tożsamości (19) otrzymujemy
λ
o
=
x
˙
o
2
+
y
˙
o
2
+
z
˙
o
2
A
2
+
B
2
+
C
2
=
r
˙
o
2
H
o
2
.
{\displaystyle \lambda _{o}={\frac ((\dot {x))_{o}^{2}+{\dot {y))_{o}^{2}+{\dot {z))_{o}^{2)){A^{2}+B^{2}+C^{2))}={\frac ((\dot {\mathbf {r} ))_{o}^{2)){\mathbf {H} _{o}^{2))}.}
(26)
Punkt o współrzędnych (25) nazywany jest środkiem krzywizny krzywej
K
{\displaystyle K}
w jej punkcie
P
o
.
{\displaystyle P_{o}.}
Miejscem geometrycznym środków krzywizny krzywej
K
,
{\displaystyle K,}
o współrzędnych
x
∗
,
y
∗
,
z
∗
,
{\displaystyle x_{*},y_{*},z_{*},}
jest krzywa
K
∗
{\displaystyle K_{*))
zwana ewolutą krzywej
K
.
{\displaystyle K.}
Odległość punktu
S
o
{\displaystyle S_{o))
od punktu
P
o
{\displaystyle P_{o))
jest tak zwanym promieniem krzywizny
ρ
{\displaystyle \rho }
krzywej w jej punkcie
P
o
.
{\displaystyle P_{o}.}
Odległość tę oblicza się na podstawie wzorów (25) po uwzględnieniu tożsamości (20)
ρ
2
=
(
x
∗
−
x
o
)
2
+
(
y
∗
−
y
o
)
2
+
(
z
∗
−
z
o
)
2
=
L
2
λ
o
2
+
M
2
λ
o
2
+
N
2
λ
o
2
=
λ
o
2
(
L
2
+
M
2
+
N
2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{2}&=(x_{*}-x_{o})^{2}+(y_{*}-y_{o})^{2}+(z_{*}-z_{o})^{2}\\[1ex]&=L^{2}\lambda _{o}^{2}+M^{2}\lambda _{o}^{2}+N^{2}\lambda _{o}^{2}=\lambda _{o}^{2}(L^{2}+M^{2}+N^{2}),\end{aligned))}
ρ
=
λ
o
L
2
+
M
2
+
N
2
=
(
x
˙
o
2
+
y
˙
o
2
+
z
˙
o
2
)
3
A
2
+
B
2
+
C
2
=
λ
o
|
G
o
|
.
{\displaystyle \rho =\lambda _{o}{\sqrt {L^{2}+M^{2}+N^{2))}={\sqrt {\tfrac {({\dot {x))_{o}^{2}+{\dot {y))_{o}^{2}+{\dot {z))_{o}^{2})^{3)){A^{2}+B^{2}+C^{2))))=\lambda _{o}|\mathbf {G} _{o}|.}
(27)
Krzywiznę krzywej określa wzór
κ
=
1
ρ
=
A
2
+
B
2
+
C
2
(
x
˙
o
2
+
y
˙
o
2
+
z
˙
o
2
)
3
=
1
λ
o
|
G
o
|
=
H
o
2
|
G
o
|
r
˙
o
2
.
{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\rho ))={\sqrt {\frac {A^{2}+B^{2}+C^{2)){({\dot {x))_{o}^{2}+{\dot {y))_{o}^{2}+{\dot {z))_{o}^{2})^{3))))={\frac {1}{\lambda _{o}|\mathbf {G} _{o}|))={\frac {\mathbf {H} _{o}^{2)){|\mathbf {G} _{o}|\mathbf {\dot {r)) _{o}^{2))}.}
(28)
Krzywizna
κ
{\displaystyle \kappa }
nazywana jest pierwszą krzywizną krzywej dla odróżnienia jej od drugiej krzywizny
T
{\displaystyle T}
nazywanej torsją krzywej . Torsja
T
{\displaystyle T}
jest miarą skrętu krzywej związanego z obrotem trójścianu Freneta dokoła osi stycznej. Obrót ten można obliczyć, wprowadzając do rozważań jednostkowy wektor
h
=
H
|
H
|
,
{\displaystyle \mathbf {h} ={\frac {\mathbf {H} }{|\mathbf {H} |)),}
H
=
A
i
+
B
j
+
C
k
=
|
i
j
k
x
′
y
′
z
′
x
″
y
″
z
″
|
,
{\displaystyle \mathbf {H} =A\,\mathbf {i} +B\,\mathbf {j} +C\,\mathbf {k} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x^{'}&y^{'}&z^{'}\\x^{''}&y^{''}&z^{''}\end{vmatrix)),}
H
′
=
|
i
j
k
x
′
y
′
z
′
x
‴
y
‴
z
‴
|
,
{\displaystyle \mathbf {H} ^{'}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x^{'}&y^{'}&z^{'}\\x^{'''}&y^{'''}&z^{'''}\end{vmatrix)),}
(29)
dzięki któremu torsję
T
{\displaystyle T}
można zdefiniować wzorem
h
′
=
T
n
,
n
=
ρ
N
,
N
=
x
″
i
+
y
″
j
+
z
″
k
,
{\displaystyle \mathbf {h} ^{'}=T\mathbf {n} ,\quad \mathbf {n} =\rho \mathbf {N} ,\quad \mathbf {N} =x^{''}\mathbf {i} +y^{''}\mathbf {j} +z^{''}\mathbf {k} ,}
(30)
przy czym
h
′
=
(
H
|
H
|
)
′
=
H
′
|
H
|
−
H
|
H
|
′
|
H
|
2
=
ρ
2
(
|
H
|
H
′
−
|
H
|
′
H
)
{\displaystyle \mathbf {h} ^{'}=\left({\tfrac {\mathbf {H} }{|\mathbf {H} |))\right)^{'}={\tfrac {\mathbf {H} ^{'}|\mathbf {H} |-\mathbf {H} |\mathbf {H} |^{')){|\mathbf {H} |^{2))}=\rho ^{2}(|\mathbf {H} |\mathbf {H} ^{'}-|\mathbf {H} |^{'}\mathbf {H} )}
(31)
dzięki temu, że po uwzględnieniu tożsamości Lagrange’a
H
2
=
A
2
+
B
2
+
C
2
=
=
(
y
′
z
″
−
z
′
y
″
)
2
+
(
x
′
z
″
−
z
′
x
″
)
2
+
(
x
′
y
″
−
y
′
x
″
)
2
=
=
(
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
)
(
x
″
2
+
y
″
2
+
z
″
2
)
−
−
(
x
′
x
″
+
y
′
y
″
+
z
′
z
″
)
2
=
=
t
2
N
2
−
(
t
⋅
N
)
2
=
(
t
⋅
t
)
(
N
⋅
N
)
−
0
=
1
ρ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} ^{2}&=A^{2}+B^{2}+C^{2}=\\[1ex]&=(y^{'}z^{''}-z^{'}y^{''})^{2}+(x^{'}z^{''}-z^{'}x^{''})^{2}+(x^{'}y^{''}-y^{'}x^{''})^{2}=\\[1ex]&=(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2})(x^{''2}+y^{''2}+z^{''2})-\\[1ex]&\qquad -(x^{'}x^{''}+y^{'}y^{''}+z^{'}z^{''})^{2}=\\&=\mathbf {t} ^{2}\mathbf {N} ^{2}-(\mathbf {t} \cdot \mathbf {N} )^{2}=(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )(\mathbf {N} \cdot \mathbf {N} )-0={\tfrac {1}{\rho ^{2))}.\end{aligned))}
(32)
Na podstawie (31) i dzięki temu, że
H
=
1
ρ
b
,
{\displaystyle \mathbf {H} ={\tfrac {1}{\rho ))\mathbf {b} ,}
otrzymujemy
T
=
(
h
′
⋅
n
)
=
=
ρ
2
(
|
H
|
(
H
′
⋅
n
)
−
|
H
|
′
(
H
⋅
n
)
)
=
=
ρ
2
|
H
|
(
H
′
⋅
n
)
=
ρ
(
H
′
⋅
n
)
=
=
ρ
2
(
H
′
⋅
N
)
=
−
ρ
2
|
x
′
y
′
z
′
x
″
y
″
z
″
x
‴
y
‴
z
‴
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T&=(\mathbf {h} ^{'}\cdot \,\mathbf {n} )=\\[1ex]&=\rho ^{2}{\Big (}|\mathbf {H} |(\mathbf {H} ^{'}\mathbf {\cdot } \,\mathbf {n} )-|\mathbf {H} |^{'}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {n} ){\Big )}=\\[1ex]&=\rho ^{2}|\mathbf {H} |(\mathbf {H} ^{'}\cdot \mathbf {n} )=\rho (\mathbf {H} ^{'}\cdot \mathbf {n} )=\\[1ex]&=\rho ^{2}(\mathbf {H} ^{'}\cdot \mathbf {N} )=-\rho ^{2}{\begin{vmatrix}x^{'}&y^{'}&z^{'}\\x^{''}&y^{''}&z^{''}\\x^{'''}&y^{'''}&z^{'''}\end{vmatrix)).\end{aligned))}
(33)
1. Elipsa
x
(
t
)
=
a
cos
t
,
y
(
t
)
=
b
sin
t
,
z
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle x(t)=a\cos t,\;y(t)=b\sin t,\;z(t)=0,}
x
˙
(
t
)
=
−
a
sin
t
,
y
˙
(
t
)
=
b
cos
t
,
z
˙
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=-a\sin t,\;{\dot {y))(t)=b\cos t,\;{\dot {z))(t)=0,}
d
s
(
t
)
=
x
˙
2
+
y
˙
2
d
t
=
σ
(
t
)
d
t
,
d
t
d
s
=
1
σ
,
{\displaystyle ds(t)={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2))}dt=\sigma (t)dt,\;{\tfrac {dt}{ds))={\tfrac {1}{\sigma )),}
σ
(
t
)
=
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
,
σ
˙
=
a
2
−
b
2
σ
sin
t
cos
t
,
{\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t)),\;{\dot {\sigma ))={\tfrac {a^{2}-b^{2)){\sigma ))\sin t\cos t,}
x
′
(
s
)
=
−
a
σ
sin
t
,
y
′
(
s
)
=
b
σ
cos
t
,
{\displaystyle x^{'}(s)=-{\tfrac {a}{\sigma ))\sin t,\;\;y^{'}(s)={\tfrac {b}{\sigma ))\cos t,}
x
″
(
s
)
=
−
a
b
2
σ
4
cos
t
,
y
″
=
−
a
2
b
σ
4
sin
t
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {ab^{2)){\sigma ^{4))}\cos t,\;\;y^{''}=-{\tfrac {a^{2}b}{\sigma ^{4))}\sin t,}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
=
σ
3
a
b
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2))))={\tfrac {\sigma ^{3)){ab)),}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
−
a
σ
sin
t
b
σ
cos
t
0
−
b
σ
cos
t
−
a
σ
sin
t
0
|
=
(
0
,
0
,
1
)
,
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-{\tfrac {a}{\sigma ))\sin t&{\tfrac {b}{\sigma ))\cos t&0\\-{\tfrac {b}{\sigma ))\cos t&-{\tfrac {a}{\sigma ))\sin t&0\end{vmatrix))=(0,\;0,\;1),}
T
=
0
{\displaystyle T=0}
- ponieważ
b
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \mathbf {b} =const.}
2. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej:
b
=
(
0
,
−
sin
α
,
cos
α
)
.
{\displaystyle {}\qquad \mathbf {b} =(0,\;-\sin \alpha ,\;\cos \alpha ).}
x
(
t
)
=
r
cos
t
,
y
(
t
)
=
r
cos
α
sin
t
,
z
(
t
)
=
r
sin
α
sin
t
,
{\displaystyle x(t)=r\cos t,\;y(t)=r\cos \alpha \sin t,\;z(t)=r\sin \alpha \sin t,}
x
˙
(
t
)
=
−
r
sin
t
,
y
˙
(
t
)
=
r
cos
α
cos
t
,
z
˙
(
t
)
=
r
sin
α
cos
t
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=-r\sin t,\;{\dot {y))(t)=r\cos \alpha \cos t,\;{\dot {z))(t)=r\sin \alpha \cos t,}
d
s
=
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
d
t
=
r
d
t
,
{\displaystyle ds={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2))}dt=rdt,}
x
′
(
s
)
=
−
sin
t
,
y
′
(
s
)
=
cos
α
cos
t
,
z
′
(
s
)
=
sin
α
cos
t
,
{\displaystyle x^{'}(s)=-\sin t,\;y^{'}(s)=\cos \alpha \cos t,\;z^{'}(s)=\sin \alpha \cos t,}
x
″
(
s
)
=
−
1
r
cos
t
,
y
″
(
s
)
=
−
1
r
cos
α
sin
t
,
z
″
(
s
)
=
−
1
r
sin
α
sin
t
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r))\cos t,\;y^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r))\cos \alpha \sin t,\;z^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r))\sin \alpha \sin t,}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
+
(
z
″
)
2
=
r
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2))))=r,}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
−
sin
t
cos
α
cos
t
sin
α
cos
t
−
cos
t
−
cos
α
sin
t
−
sin
α
sin
t
|
=
(
0
,
−
sin
α
,
cos
α
)
,
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-\sin t&\cos \alpha \cos t&\sin \alpha \cos t\\-\cos t&-\cos \alpha \sin t&-\sin \alpha \sin t\end{vmatrix))=(0,\;-\sin \alpha ,\;\cos \alpha ),}
T
=
0
{\displaystyle T=0}
- ponieważ
b
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \mathbf {b} =const.}
3. Spirala na walcu kołowym , linia śrubowa – krzywa „nawinięta” na walec o promieniu
r
.
{\displaystyle r.}
Spirala jest prawoskrętna wokoło osi
0
z
.
{\displaystyle 0z.}
x
(
t
)
=
r
cos
t
,
y
(
t
)
=
r
sin
t
,
z
(
t
)
=
h
r
2
π
t
,
{\displaystyle x(t)=r\cos t,\;y(t)=r\sin t,\;z(t)={\tfrac {hr}{2\pi ))t,}
x
˙
(
t
)
=
−
r
sin
t
,
y
˙
(
t
)
=
r
cos
t
,
z
˙
(
t
)
=
h
r
2
π
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=-r\sin t,\;{\dot {y))(t)=r\cos t,\;{\dot {z))(t)={\tfrac {hr}{2\pi )),}
d
s
=
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
d
t
=
r
σ
d
t
,
d
t
d
s
=
1
r
σ
,
t
=
s
r
cos
φ
,
{\displaystyle ds={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2))}dt=r\sigma dt,\quad {\tfrac {dt}{ds))={\tfrac {1}{r\sigma )),\quad t={\tfrac {s}{r))\cos \varphi ,}
σ
=
1
+
(
h
2
4
π
2
)
,
1
σ
=
cos
φ
,
h
2
π
σ
=
sin
φ
,
{\displaystyle \sigma ={\sqrt {1+\left({\tfrac {h^{2)){4\pi ^{2))}\right))),\quad {\tfrac {1}{\sigma ))=\cos \varphi ,\quad {\tfrac {h}{2\pi \sigma ))=\sin \varphi ,}
gdzie
φ
{\displaystyle \varphi }
jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny
0
x
y
{\displaystyle 0xy}
kołowego przekroju walca,
x
′
(
s
)
=
−
cos
φ
sin
t
,
y
′
(
s
)
=
cos
φ
cos
t
,
z
′
(
s
)
=
sin
φ
,
{\displaystyle x^{'}(s)=-\cos \varphi \sin t,\;y^{'}(s)=\cos \varphi \cos t,\;z^{'}(s)=\sin \varphi ,}
x
″
(
s
)
=
−
1
r
cos
2
φ
cos
t
,
y
″
(
s
)
=
−
1
r
cos
2
φ
sin
t
,
z
″
(
s
)
=
0
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r))\cos ^{2}\varphi \cos t,\quad y^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r))\cos ^{2}\varphi \sin t,\quad z^{''}(s)=0,}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
=
r
cos
2
φ
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2))))={\tfrac {r}{\cos ^{2}\varphi )),}
stąd
x
″
(
s
)
=
−
1
ρ
cos
t
,
y
″
(
s
)
=
−
1
ρ
sin
t
,
z
″
(
s
)
=
0
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho ))\cos t,\quad y^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho ))\sin t,\quad z^{''}(s)=0,}
x
‴
(
s
)
=
1
ρ
r
σ
sin
t
,
y
‴
(
s
)
=
−
r
ρ
r
σ
cos
t
,
z
‴
(
s
)
=
0
,
{\displaystyle x^{'''}(s)={\tfrac {1}{\rho r\sigma ))\sin t,\quad y^{'''}(s)=-{\tfrac {r}{\rho r\sigma ))\cos t,\quad z^{'''}(s)=0,}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
−
cos
φ
sin
t
cos
φ
cos
t
sin
φ
−
cos
t
−
sin
t
0
|
=
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-\cos \varphi \sin t&\cos \varphi \cos t&\sin \varphi \\-\cos t&-\sin t&0\end{vmatrix))=}
=
(
sin
φ
sin
t
,
−
sin
φ
cos
t
,
cos
φ
)
,
{\displaystyle {}\qquad =(\sin \varphi \sin t,\;-\sin \varphi \cos t,\;\cos \varphi ),}
T
=
−
|
−
cos
φ
sin
t
cos
φ
cos
t
sin
φ
−
cos
t
−
sin
t
0
1
r
σ
sin
t
−
1
r
σ
cos
t
0
|
=
−
1
r
σ
sin
φ
=
−
1
r
cos
φ
sin
φ
.
{\displaystyle T=-{\begin{vmatrix}-\cos \varphi \sin t&\cos \varphi \cos t&\sin \varphi \\-\cos t&-\sin t&0\\{\tfrac {1}{r\sigma ))\sin t&-{\tfrac {1}{r\sigma ))\cos t&0\end{vmatrix))=-{\tfrac {1}{r\sigma ))\sin \varphi =-{\tfrac {1}{r))\cos \varphi \sin \varphi .}
4. Parabola płaska
x
(
t
)
=
t
,
y
(
t
)
=
t
2
,
z
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t^{2},\,z(t)=0,}
x
˙
(
t
)
=
1
,
y
˙
(
t
)
=
2
t
,
z
˙
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=1,\;{\dot {y))(t)=2t,\;{\dot {z))(t)=0,}
d
s
(
t
)
=
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
d
t
=
σ
(
t
)
d
t
,
d
t
d
s
=
1
σ
,
{\displaystyle ds(t)={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2))}dt=\sigma (t)dt,\;{\tfrac {dt}{ds))={\tfrac {1}{\sigma )),}
σ
(
t
)
=
1
+
4
t
2
,
σ
˙
(
t
)
=
4
t
σ
,
{\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {1+4t^{2))},\quad {\dot {\sigma ))(t)={\tfrac {4t}{\sigma )),}
x
′
(
s
)
=
1
σ
,
y
′
(
s
)
=
2
t
σ
,
z
′
(
s
)
=
0
,
{\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma )),\quad y^{'}(s)={\tfrac {2t}{\sigma )),\quad z'(s)=0,}
x
″
(
s
)
=
−
4
t
σ
4
,
y
″
(
s
)
=
2
σ
4
,
z
″
(
s
)
=
0
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {4t}{\sigma ^{4))},\quad y^{''}(s)={\tfrac {2}{\sigma ^{4))},\quad z^{''}(s)=0,}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
=
σ
3
2
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2))))={\tfrac {\sigma ^{3)){2)),}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
1
σ
2
t
σ
0
−
2
t
σ
1
σ
0
|
=
(
0
,
0
,
1
)
,
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\tfrac {1}{\sigma ))&{\tfrac {2t}{\sigma ))&0\\-{\tfrac {2t}{\sigma ))&{\tfrac {1}{\sigma ))&0\end{vmatrix))=(0,\;0,\;1),}
T
=
−
ρ
2
|
x
′
y
′
0
x
″
y
″
0
x
‴
y
‴
0
|
=
0.
{\displaystyle T=-\rho ^{2}{\begin{vmatrix}x^{'}&y^{'}&0\\x^{''}&y^{''}&0\\x^{'''}&y^{'''}&0\end{vmatrix))=0.}
5. Parabola przestrzenna
x
(
t
)
=
t
,
y
(
t
)
=
t
2
,
z
(
t
)
=
h
t
,
{\displaystyle x(t)=t,\;y(t)=t^{2},\;z(t)=ht,}
x
˙
(
t
)
=
1
,
y
˙
(
t
)
=
2
t
,
z
˙
(
t
)
=
h
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=1,\;{\dot {y))(t)=2t,\;{\dot {z))(t)=h,}
d
s
(
t
)
=
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
d
t
=
σ
(
t
)
d
t
,
d
t
d
s
=
1
σ
{\displaystyle ds(t)={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2))}dt=\sigma (t)dt,\;\;{\tfrac {dt}{ds))={\tfrac {1}{\sigma ))}
σ
(
t
)
=
1
+
h
2
+
4
t
2
,
σ
˙
(
t
)
=
4
t
σ
,
{\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {1+h^{2}+4t^{2))},\quad {\dot {\sigma ))(t)={\tfrac {4t}{\sigma )),}
x
′
(
s
)
=
1
σ
,
y
′
(
s
)
=
2
t
σ
,
z
′
(
s
)
=
h
σ
,
{\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma )),\;y^{'}(s)={\tfrac {2t}{\sigma )),\;z^{'}(s)={\tfrac {h}{\sigma )),}
x
″
(
s
)
=
−
4
t
σ
4
,
y
″
(
s
)
=
2
κ
2
σ
4
,
z
″
(
s
)
=
−
4
h
t
σ
4
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {4t}{\sigma ^{4))},\;y^{''}(s)={\tfrac {2\kappa ^{2)){\sigma ^{4))},\;z^{''}(s)=-{\tfrac {4ht}{\sigma ^{4))},}
x
‴
(
s
)
=
−
4
σ
7
(
σ
2
−
16
t
2
)
,
y
‴
(
s
)
=
−
32
κ
2
t
σ
7
,
z
‴
(
s
)
=
−
4
h
σ
7
(
σ
2
−
16
t
2
)
,
{\displaystyle x^{'''}(s)=-{\tfrac {4}{\sigma ^{7))}\scriptstyle {(\sigma ^{2}-16t^{2})},\;y^{'''}(s)=-{\tfrac {32\kappa ^{2}t}{\sigma ^{7))},\;z^{'''}(s)=-{\tfrac {4h}{\sigma ^{7))}\scriptstyle {(\sigma ^{2}-16t^{2})},}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
+
(
z
″
)
2
=
σ
3
2
κ
,
κ
=
1
+
h
2
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2))))={\tfrac {\sigma ^{3)){2\kappa )),\;\kappa ={\sqrt {1+h^{2))},}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
1
σ
2
t
σ
h
σ
−
2
t
κ
σ
κ
2
κ
σ
−
2
h
t
κ
σ
|
=
(
−
h
κ
,
0
,
1
κ
)
,
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\tfrac {1}{\sigma ))&{\tfrac {2t}{\sigma ))&{\tfrac {h}{\sigma ))\\-{\tfrac {2t}{\kappa \sigma ))&{\tfrac {\kappa ^{2)){\kappa \sigma ))&-{\tfrac {2ht}{\kappa \sigma ))\end{vmatrix))=(-{\tfrac {h}{\kappa )),\;0,\;{\tfrac {1}{\kappa ))),}
T
=
−
|
1
σ
2
t
σ
h
σ
−
2
t
κ
σ
κ
2
κ
σ
−
2
h
t
κ
σ
−
2
κ
σ
4
(
σ
2
−
16
t
2
)
−
16
κ
2
t
κ
σ
4
−
2
h
κ
σ
4
(
σ
2
−
16
t
2
)
,
|
=
0.
{\displaystyle T=-{\begin{vmatrix}{\tfrac {1}{\sigma ))&{\tfrac {2t}{\sigma ))&{\tfrac {h}{\sigma ))\\-{\tfrac {2t}{\kappa \sigma ))&{\tfrac {\kappa ^{2)){\kappa \sigma ))&-{\tfrac {2ht}{\kappa \sigma ))\\-{\tfrac {2}{\kappa \sigma ^{4))}\scriptstyle {(\sigma ^{2}-16t^{2})}&-{\tfrac {16\kappa ^{2}t}{\kappa \sigma ^{4))}&-{\tfrac {2h}{\kappa \sigma ^{4))}\scriptstyle {(\sigma ^{2}-16t^{2})},\end{vmatrix))=0.}
Zerowanie się torsji wynika również bezpośrednio z faktu, że
b
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \mathbf {b} =const.}
Rozważana krzywa w całości leży na swojej płaszczyźnie ściśle stycznej o normalnej
b
.
{\displaystyle \mathbf {b} .}
6. Spirala Archimedesa
x
(
t
)
=
a
t
cos
t
,
y
(
t
)
=
a
t
sin
t
,
z
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle x(t)=at\cos t,\;y(t)=at\sin t,\;z(t)=0,}
x
˙
(
t
)
=
a
(
cos
t
−
t
sin
t
)
,
y
˙
(
t
)
=
a
(
sin
t
+
t
cos
t
)
,
z
˙
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=a(\cos t-t\sin t),\;{\dot {y))(t)=a(\sin t+t\cos t),\;{\dot {z))(t)=0,}
d
s
(
t
)
=
x
˙
2
+
y
˙
2
d
t
=
σ
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle ds(t)={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2))}dt=\sigma (t)dt,}
σ
(
t
)
=
a
1
+
t
2
,
σ
˙
(
t
)
=
a
2
t
σ
,
{\displaystyle \sigma (t)=a{\sqrt {1+t^{2))},\quad {\dot {\sigma ))(t)={\tfrac {a^{2}t}{\sigma )),}
x
′
(
s
)
=
a
σ
(
cos
t
−
t
sin
t
)
,
y
′
(
s
)
=
a
σ
(
sin
t
+
t
cos
t
)
,
z
′
(
s
)
=
0
,
{\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {a}{\sigma ))(\cos t-t\sin t),\;y^{'}(s)={\tfrac {a}{\sigma ))(\sin t+t\cos t),\;z^{'}(s)=0,}
x
″
(
s
)
=
−
a
σ
4
(
μ
t
cos
t
+
ν
sin
t
)
,
μ
=
a
2
+
σ
2
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {a}{\sigma ^{4))}(\mu t\cos t+\nu \sin t),\quad \mu =a^{2}+\sigma ^{2},}
y
″
(
s
)
=
a
σ
4
(
ν
cos
t
−
μ
t
sin
t
)
,
ν
=
2
σ
2
−
a
2
t
2
,
{\displaystyle y^{''}(s)={\tfrac {a}{\sigma ^{4))}(\nu \cos t-\mu t\sin t),\quad \nu =2\sigma ^{2}-a^{2}t^{2},}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
=
σ
4
α
,
α
=
a
μ
2
t
2
+
ν
2
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2))))={\tfrac {\sigma ^{4)){\alpha )),\quad \alpha =a{\sqrt {\mu ^{2}t^{2}+\nu ^{2))},}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
a
σ
(
cos
t
−
t
sin
t
)
a
σ
(
sin
t
+
t
cos
t
)
0
−
a
α
(
μ
t
cos
t
+
ν
sin
t
)
a
α
(
ν
cos
t
−
μ
t
sin
t
)
0
|
=
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {a}{\sigma ))\scriptstyle {(\cos t-t\sin t)}&{\tfrac {a}{\sigma ))\scriptstyle {(\sin t+t\cos t)}&0\\-{\tfrac {a}{\alpha ))\scriptstyle {(\mu t\cos t+\nu \sin t)}&{\tfrac {a}{\alpha ))\scriptstyle {(\nu \cos t-\mu t\sin t)}&0\end{vmatrix))=}
=
[
0
,
0
,
a
2
σ
α
(
t
2
+
2
)
]
=
(
0
,
0
,
1
)
,
{\displaystyle {}\qquad =\left[0,\;0,\;{\tfrac {a^{2}\sigma }{\alpha ))\scriptstyle {(t^{2}+2)}\right]=(0,\,0,\,1),}
T
=
0.
{\displaystyle T=0.}
7. Spirala stożkowa – krzywa „nawinięta” na stożek kołowy.
x
(
t
)
=
(
a
+
b
t
)
cos
t
,
y
(
t
)
=
(
a
+
b
t
)
sin
t
,
z
(
t
)
=
h
t
{\displaystyle x(t)=(a+bt)\cos t,\;y(t)=(a+bt)\sin t,\;z(t)=ht}
x
˙
(
t
)
=
b
cos
t
−
(
a
+
b
t
)
sin
t
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=b\cos t-(a+bt)\sin t,}
y
˙
(
t
)
=
b
sin
t
+
(
a
+
b
t
)
cos
t
,
z
˙
(
t
)
=
h
,
{\displaystyle {\dot {y))(t)=b\sin t+(a+bt)\cos t,\quad {\dot {z))(t)=h,}
d
s
(
t
)
=
x
˙
2
+
y
˙
2
+
(
z
˙
)
2
+
d
t
=
σ
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle ds(t)={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+({\dot {z)))^{2}+))dt=\sigma (t)dt,}
σ
(
t
)
=
b
2
+
h
2
+
(
a
+
b
t
)
2
,
σ
˙
(
t
)
=
b
σ
(
a
+
b
t
)
,
{\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {b^{2}+h^{2}+(a+bt)^{2))},\quad {\dot {\sigma ))(t)={\tfrac {b}{\sigma ))(a+bt),}
x
′
(
s
)
=
1
σ
[
b
cos
t
−
(
a
+
b
t
)
sin
t
]
,
{\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma ))[b\cos t-(a+bt)\sin t],}
y
′
(
s
)
=
1
σ
[
b
sin
t
+
(
a
+
b
t
)
cos
t
]
,
z
′
(
s
)
=
h
σ
,
{\displaystyle y^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma ))[b\sin t+(a+bt)\cos t],\quad z^{'}(s)={\tfrac {h}{\sigma )),}
x
″
(
s
)
=
−
1
σ
4
(
μ
cos
t
+
ν
sin
t
)
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\sigma ^{4))}(\mu \cos t+\nu \sin t),}
y
″
(
s
)
=
1
σ
4
(
ν
cos
t
−
μ
sin
t
)
,
z
″
(
s
)
=
−
b
h
σ
4
(
a
+
b
t
)
,
{\displaystyle y^{''}(s)={\tfrac {1}{\sigma ^{4))}(\nu \cos t-\mu \sin t),\quad z^{''}(s)=-{\tfrac {bh}{\sigma ^{4))}\scriptstyle {(a+bt)},}
μ
=
(
σ
2
+
b
2
)
(
a
+
b
t
)
,
ν
=
b
[
2
σ
2
−
(
a
+
b
t
)
2
]
,
{\displaystyle \mu =(\sigma ^{2}+b^{2})(a+bt),\;\;\nu =b[2\sigma ^{2}-(a+bt)^{2}],}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
+
(
z
″
)
2
=
σ
4
κ
,
κ
=
μ
2
+
ν
2
+
b
2
h
2
(
a
+
b
t
)
2
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2))))={\tfrac {\sigma ^{4)){\kappa )),\quad \kappa ={\sqrt {\scriptstyle {\mu ^{2}+\nu ^{2}+b^{2}h^{2}(a+bt)^{2)))),}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
1
σ
[
(
b
cos
t
−
(
a
+
b
t
)
sin
t
]
1
σ
[
b
sin
t
+
(
a
+
b
t
)
cos
t
]
h
σ
−
1
κ
(
μ
cos
t
+
ν
sin
t
)
1
κ
(
ν
cos
t
−
μ
sin
t
)
−
b
h
κ
(
a
+
b
t
)
|
=
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {1}{\sigma ))\scriptstyle {[(b\cos t-(a+bt)\sin t]}&{\frac {1}{\sigma ))\scriptstyle {[b\sin t+(a+bt)\cos t]}&{\tfrac {h}{\sigma ))\\-{\tfrac {1}{\kappa ))\scriptstyle {(\mu \cos t+\nu \sin t)}&{\tfrac {1}{\kappa ))\scriptstyle {(\nu \cos t-\mu \sin t)}&-{\tfrac {bh}{\kappa ))\scriptstyle {(a+bt)}\end{vmatrix))=}
=
{
h
σ
κ
[
−
2
b
cos
t
+
(
a
+
b
t
)
sin
t
]
,
−
h
σ
κ
[
(
a
+
b
t
)
cos
t
+
2
b
sin
t
]
,
σ
κ
[
2
b
2
+
(
a
+
b
t
)
2
]
}
,
{\displaystyle =\((\tfrac {h\sigma }{\kappa ))\scriptstyle {[-2b\cos t+(a+bt)\sin t]},\;\;-{\tfrac {h\sigma }{\kappa ))\scriptstyle {[(a+bt)\cos t+2b\sin t]},\;\;{\tfrac {\sigma }{\kappa ))\scriptstyle {[2b^{2}+(a+bt)^{2}]}\;\},}
|
b
|
=
1
,
{\displaystyle |\mathbf {b} |=1,}
x
‴
(
s
)
=
−
1
σ
7
(
γ
cos
t
−
β
sin
t
)
,
{\displaystyle x^{'''}(s)=-{\tfrac {1}{\sigma ^{7))}(\gamma \cos t-\beta \sin t),}
y
‴
(
s
)
=
−
1
σ
7
(
β
cos
t
+
γ
sin
t
)
,
{\displaystyle y^{'''}(s)=-{\tfrac {1}{\sigma ^{7))}(\beta \cos t+\gamma \sin t),}
z
‴
(
s
)
=
−
b
2
h
σ
7
[
σ
2
−
4
(
a
+
b
t
)
2
]
,
{\displaystyle z^{'''}(s)=-{\tfrac {b^{2}h}{\sigma ^{7))}[\sigma ^{2}-4(a+bt)^{2}],}
β
=
μ
σ
2
+
4
ν
b
(
a
+
b
t
)
,
γ
=
ν
σ
2
−
4
μ
b
(
a
+
b
t
)
,
{\displaystyle \beta =\mu \sigma ^{2}+4\nu b(a+bt),\quad \gamma =\nu \sigma ^{2}-4\mu b(a+bt),}
T
=
−
|
1
σ
[
b
cos
t
−
(
a
+
b
t
)
sin
t
]
1
σ
[
b
sin
t
+
(
a
+
b
t
)
cos
t
]
h
σ
−
1
κ
(
μ
cos
t
+
ν
sin
t
)
1
κ
(
ν
cos
t
)
−
μ
sin
t
)
−
b
h
κ
(
a
+
b
t
)
−
1
κ
σ
3
(
γ
cos
t
−
β
sin
t
)
−
1
κ
σ
3
(
β
cos
t
+
γ
sin
t
)
−
b
2
h
κ
σ
3
[
σ
2
−
4
(
a
+
b
t
)
2
]
|
.
{\displaystyle T=-{\begin{vmatrix}{\tfrac {1}{\sigma ))\scriptstyle {[b\cos t-(a+bt)\sin t]}&{\tfrac {1}{\sigma ))\scriptstyle {[b\sin t+(a+bt)\cos t]}&{\tfrac {h}{\sigma ))\\-{\tfrac {1}{\kappa ))\scriptstyle {(\mu \cos t+\nu \sin t)}&{\tfrac {1}{\kappa ))\scriptstyle {(\nu \cos t)-\mu \sin t)}&-{\tfrac {bh}{\kappa ))\scriptstyle {(a+bt)}\\-{\tfrac {1}{\kappa \sigma ^{3))}\scriptstyle {(\gamma \cos t-\beta \sin t)}&-{\tfrac {1}{\kappa \sigma ^{3))}\scriptstyle {(\beta \cos t+\gamma \sin t)}&-{\tfrac {b^{2}h}{\kappa \sigma ^{3))}\scriptstyle {[\sigma ^{2}-4(a+bt)^{2}]}\end{vmatrix)).}
8. Spirala na walcu eliptycznym – krzywa „nawinięta” na taki walec o półosiach
a
,
b
.
{\displaystyle a,b.}
x
(
t
)
=
a
cos
t
,
y
(
t
)
=
b
sin
t
,
z
(
t
)
=
h
t
,
{\displaystyle x(t)=a\cos t,\;y(t)=b\sin t,\;z(t)=ht,}
x
˙
(
t
)
=
−
a
sin
t
,
y
˙
(
t
)
=
b
cos
t
,
z
˙
(
t
)
=
h
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=-a\sin t,\;{\dot {y))(t)=b\cos t,\;{\dot {z))(t)=h,}
d
s
(
t
)
=
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
d
t
=
σ
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle ds(t)={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2))}dt=\sigma (t)dt,}
σ
(
t
)
=
a
2
sin
2
t
+
b
2
cos
2
t
+
h
2
,
{\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t+h^{2))},}
x
′
(
s
)
=
−
a
σ
sin
t
,
y
′
(
s
)
=
b
σ
cos
t
,
z
′
(
s
)
=
h
σ
,
{\displaystyle x^{'}(s)=-{\tfrac {a}{\sigma ))\sin t,\;y^{'}(s)={\tfrac {b}{\sigma ))\cos t,\;z^{'}(s)={\tfrac {h}{\sigma )),}
x
″
(
s
)
=
−
α
σ
4
cos
t
,
y
″
(
s
)
=
−
β
σ
4
sin
t
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {\alpha }{\sigma ^{4))}\cos t,\;\;\;y^{''}(s)=-{\tfrac {\beta }{\sigma ^{4))}\sin t,}
z
″
(
s
)
=
−
γ
σ
4
sin
t
cos
t
,
{\displaystyle z^{''}(s)=-{\tfrac {\gamma }{\sigma ^{4))}\sin t\cos t,}
α
=
a
(
b
2
+
h
2
)
,
β
=
b
(
a
2
+
h
2
)
,
γ
=
h
(
a
2
−
b
2
)
,
{\displaystyle \alpha =a(b^{2}+h^{2}),\;\;\beta =b(a^{2}+h^{2}),\;\;\gamma =h(a^{2}-b^{2}),}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
+
(
z
″
)
2
=
σ
4
κ
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2))))={\tfrac {\sigma ^{4)){\kappa )),}
κ
=
α
2
cos
2
t
+
β
2
sin
2
t
+
γ
2
sin
2
t
cos
2
t
,
{\displaystyle \kappa ={\sqrt {\scriptstyle {\alpha ^{2}\cos ^{2}t+\beta ^{2}\sin ^{2}t+\gamma ^{2}\sin ^{2}t\cos ^{2}t))},}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
−
a
σ
sin
t
b
σ
cos
t
h
σ
−
α
κ
cos
t
−
β
κ
sin
t
−
γ
κ
sin
t
cos
t
|
=
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-{\frac {a}{\sigma ))\scriptstyle {\sin t}&{\tfrac {b}{\sigma ))\scriptstyle {\cos t}&{\tfrac {h}{\sigma ))\\-\scriptstyle {\,{\tfrac {\alpha }{\kappa ))\cos t}&-\scriptstyle ((\tfrac {\beta }{\kappa ))\sin t}&-\scriptstyle {\,{\tfrac {\gamma }{\kappa ))\sin t\cos t}\end{vmatrix))=}
=
(
b
h
κ
σ
sin
t
,
−
a
h
κ
σ
cos
t
,
a
b
κ
σ
)
,
{\displaystyle {}\qquad =\left({\tfrac {bh}{\kappa ))\sigma \sin t,\;-{\tfrac {ah}{\kappa ))\sigma \cos t,\;{\tfrac {ab}{\kappa ))\sigma \right),}
x
‴
(
s
)
=
α
σ
7
(
4
γ
h
cos
2
t
+
σ
2
)
sin
t
,
{\displaystyle x^{'''}(s)={\tfrac {\alpha }{\sigma ^{7))}\left({\tfrac {4\gamma }{h))\cos ^{2}t+\sigma ^{2}\right)\sin t,}
y
‴
(
s
)
=
β
σ
7
(
4
γ
h
sin
2
t
+
σ
2
)
cos
t
,
{\displaystyle y^{'''}(s)={\tfrac {\beta }{\sigma ^{7))}\left({\tfrac {4\gamma }{h))\sin ^{2}t+\sigma ^{2}\right)\cos t,}
z
‴
(
s
)
=
γ
σ
7
[
4
γ
h
sin
2
t
cos
2
t
−
σ
2
(
cos
2
t
−
sin
2
t
)
]
.
{\displaystyle z^{'''}(s)={\tfrac {\gamma }{\sigma ^{7))}\left[{\tfrac {4\gamma }{h))\sin ^{2}t\cos ^{2}t-\sigma ^{2}(\cos ^{2}t-\sin ^{2}t)\right].}
9. Sinusoida „nawinięta” na walec kołowy .
x
(
t
)
=
r
cos
t
,
y
(
t
)
=
r
sin
t
,
z
(
t
)
=
h
sin
n
t
,
{\displaystyle x(t)=r\cos t,\;\;y(t)=r\sin t,\;\;z(t)=h\sin nt,}
x
˙
(
t
)
=
−
r
sin
t
,
y
˙
(
t
)
=
r
cos
t
,
z
˙
(
t
)
=
n
h
cos
n
t
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=-r\sin t,\;\;{\dot {y))(t)=r\cos t,\;\;{\dot {z))(t)=nh\cos nt,}
d
s
(
t
)
=
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
d
t
=
σ
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle ds(t)={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2}+{\dot {z))^{2))}dt=\sigma (t)dt,}
σ
(
t
)
=
r
2
sin
2
t
+
r
2
cos
2
t
+
n
2
h
2
cos
2
n
t
,
{\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t+n^{2}h^{2}\cos ^{2}nt)),}
x
′
(
s
)
=
−
r
σ
sin
t
,
y
′
(
s
)
=
r
σ
cos
t
,
z
′
(
s
)
=
n
h
σ
cos
n
t
,
{\displaystyle x^{'}(s)=-{\tfrac {r}{\sigma ))\sin t,\;\;y^{'}(s)={\frac {r}{\sigma ))\cos t,\;\;z^{'}(s)={\tfrac {nh}{\sigma ))\cos nt,}
x
″
(
s
)
=
−
r
σ
4
(
φ
sin
t
+
σ
2
cos
t
)
,
{\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {r}{\sigma ^{4))}(\varphi \sin t+\sigma ^{2}\!\cos t),}
y
″
(
s
)
=
r
σ
4
(
φ
cos
t
−
σ
2
sin
t
)
,
z
″
(
s
)
=
n
h
σ
4
ψ
,
{\displaystyle y^{''}(s)={\tfrac {r}{\sigma ^{4))}(\varphi \cos t-\sigma ^{2}\!\sin t),\quad z^{''}(s)={\tfrac {nh}{\sigma ^{4))}\psi ,}
φ
(
n
t
)
=
n
3
h
2
sin
n
t
cos
n
t
,
ψ
(
n
t
)
=
(
n
3
h
2
cos
2
n
t
−
σ
2
)
sin
n
t
,
{\displaystyle \varphi (nt)=n^{3}h^{2}\!\sin nt\cos nt,\;\;\;\psi (nt)=(n^{3}h^{2}\!\cos ^{2}\!nt-\sigma ^{2})\sin nt,}
ρ
=
1
(
x
″
)
2
+
(
y
″
)
2
+
(
z
″
)
2
=
σ
4
κ
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2))))={\tfrac {\sigma ^{4)){\kappa )),}
κ
=
r
2
(
φ
2
+
σ
4
)
+
n
2
h
2
ψ
2
,
{\displaystyle \kappa ={\sqrt {r^{2}(\varphi ^{2}+\sigma ^{4})+n^{2}h^{2}\psi ^{2))},}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
−
r
σ
sin
t
r
σ
cos
t
n
h
σ
cos
n
t
−
r
κ
(
φ
sin
t
+
σ
2
cos
t
)
r
κ
(
φ
cos
t
−
σ
2
sin
t
)
n
h
κ
ψ
|
.
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-{\frac {r}{\sigma ))\scriptstyle {\sin t}&{\tfrac {r}{\sigma ))\scriptstyle {\cos t}&{\tfrac {nh}{\sigma ))\scriptstyle {\cos nt}\\\scriptstyle {\,-{\tfrac {r}{\kappa ))(\varphi \sin t+\sigma ^{2}\!\cos t)}&\scriptstyle ((\tfrac {r}{\kappa ))(\varphi \cos t-\sigma ^{2}\!\sin t)}&\scriptstyle {\,{\tfrac {nh}{\kappa ))\psi }\end{vmatrix)).}
10. Cykloida
x
(
t
)
=
r
t
−
c
sin
t
,
y
(
t
)
=
r
−
c
cos
t
,
z
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle x(t)=rt-c\sin t,\;\;y(t)=r-c\cos t,\;\;z(t)=0,}
x
˙
(
t
)
=
r
−
c
cos
t
,
y
˙
(
t
)
=
c
sin
t
,
{\displaystyle {\dot {x))(t)=r-c\cos t,\;\;{\dot {y))(t)=c\sin t,}
d
s
=
x
˙
2
+
y
˙
2
d
t
=
σ
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle ds={\sqrt ((\dot {x))^{2}+{\dot {y))^{2))}dt=\sigma (t)dt,}
σ
(
t
)
=
r
2
+
c
2
−
2
r
c
cos
t
,
σ
˙
(
t
)
=
r
c
σ
sin
t
,
{\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {r^{2}+c^{2}-2rc\cos t)),\;\;{\dot {\sigma ))(t)={\tfrac {rc}{\sigma ))\sin t,}
x
′
(
s
)
=
1
σ
(
r
−
c
cos
t
)
,
y
′
(
s
)
=
c
σ
sin
t
,
{\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma ))(r-c\cos t),\;\;y^{'}(s)={\tfrac {c}{\sigma ))\sin t,}
x
″
(
s
)
=
1
σ
4
(
r
c
2
cos
t
+
σ
2
−
r
2
c
)
sin
t
=
1
σ
4
φ
(
t
)
,
{\displaystyle x^{''}(s)={\tfrac {1}{\sigma ^{4))}(rc^{2}\cos t+\sigma ^{2}-r^{2}c)\sin t={\tfrac {1}{\sigma ^{4))}\varphi (t),}
y
″
(
s
)
=
1
σ
4
(
σ
2
cos
t
−
r
c
sin
2
t
)
=
1
σ
4
ψ
(
t
)
,
{\displaystyle y^{''}(s)={\tfrac {1}{\sigma ^{4))}(\sigma ^{2}\cos t-rc\sin ^{2}t)={\tfrac {1}{\sigma ^{4))}\psi (t),}
ρ
=
σ
4
κ
,
κ
=
φ
2
+
ψ
2
,
{\displaystyle \rho ={\tfrac {\sigma ^{4)){\kappa )),\;\;\kappa ={\sqrt {\varphi ^{2}+\psi ^{2))},}
b
=
t
×
n
=
|
i
j
k
1
σ
(
r
−
c
cos
t
)
c
σ
sin
t
0
1
κ
φ
(
t
)
1
κ
ψ
(
t
)
0
|
=
{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\tfrac {1}{\sigma ))(r-c\cos t)&{\tfrac {c}{\sigma ))\sin t&0\\{\tfrac {1}{\kappa ))\varphi (t)&{\tfrac {1}{\kappa ))\psi (t)&0\end{vmatrix))=}
=
{
0
,
0
,
1
κ
σ
[
(
r
−
c
cos
t
)
ψ
−
(
c
sin
t
)
φ
]
}
.
{\displaystyle {}\qquad =\left\{0,\;\;0,\;\;{\tfrac {1}{\kappa \sigma ))[(r-c\cos t)\psi -(c\sin t)\varphi ]\right\}.}
Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C. Jordana w 1874 roku.
Przypuśćmy, że
r
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {r} (s)}
opisuje gładką krzywą w
R
n
,
{\displaystyle R^{n},}
sparametryzowaną przez długość łuku
s
{\displaystyle s}
oraz że pierwsze
n
{\displaystyle n}
pochodnych
r
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {r} (s)}
jest liniowo niezależnych . Geometrycznie oznacza to, że krzywa
r
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {r} (s)}
nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze
n
−
1
{\displaystyle n-1}
(ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach
r
(
s
)
,
r
′
(
s
)
,
r
″
(
s
)
,
.
.
.
r
(
n
)
(
s
)
.
{\displaystyle \mathbf {r} (s),\,\mathbf {r} ^{'}(s),\,\mathbf {r} ^{''}(s),\,...\,\mathbf {r} ^{(n)}(s).}
W szczególności, jednostkowy wektor styczny
r
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {r} (s)}
jest pierwszym wektorem układu Freneta
e
1
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)}
e
1
(
s
)
=
r
′
(
s
)
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)=\mathbf {r} '(s).}
Wektor normalny
e
2
¯
(
s
)
,
{\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2))}(s),}
czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od stycznej linii prostej. Jest zdefiniowany jako
e
2
¯
(
s
)
=
r
″
(
s
)
−
⟨
r
″
(
s
)
⋅
e
1
(
s
)
⟩
e
1
(
s
)
.
{\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2))}(s)=\mathbf {r} ''(s)-{\Big \langle }\mathbf {r} ''(s)\centerdot \mathbf {e} _{1}(s){\Big \rangle }\mathbf {e} _{1}(s).}
W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta
e
2
(
s
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)}
i jest zdefiniowany jako
e
2
(
s
)
=
e
2
¯
(
s
)
‖
e
2
¯
(
s
)
‖
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)={\frac ((\overline {\mathbf {e} _{2))}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2))}(s)\|)).}
Wektor styczny i normalny w punkcie
s
{\displaystyle s}
definiują płaszczyznę ściśle styczną w punkcie
r
(
s
)
.
{\displaystyle \mathbf {r} (s).}
Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:
e
j
(
s
)
=
e
j
¯
(
s
)
‖
e
j
¯
(
s
)
‖
,
e
j
¯
(
s
)
=
r
(
j
)
(
s
)
−
∑
i
=
1
j
−
1
⟨
r
(
j
)
(
s
)
⋅
e
i
(
s
)
⟩
e
i
(
s
)
.
{\displaystyle \mathbf {e} _{j}(s)={\frac ((\overline {\mathbf {e} _{j))}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j))}(s)\|)),\qquad {\overline {\mathbf {e} _{j))}(s)=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}{\Big \langle }\mathbf {r} ^{(j)}(s)\,\centerdot \,\mathbf {e} _{i}(s){\Big \rangle }\,\mathbf {e} _{i}(s).}
Funkcje o wartościach rzeczywistych
χ
i
(
s
)
{\displaystyle \chi _{i}(s)}
zdefiniowane jako:
χ
i
(
s
)
=
⟨
e
i
′
(
s
)
⋅
e
i
+
1
(
s
)
⟩
{\displaystyle \chi _{i}(s)={\Big \langle }\mathbf {e} _{i}'(s)\centerdot \mathbf {e} _{i+1}(s){\Big \rangle ))
są nazywane krzywiznami uogólnionymi , przy czym symbol
⟨
a
⋅
b
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {a} \centerdot \mathbf {b} \rangle }
oznacza iloczyn skalarny wektorów
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
i
b
.
{\displaystyle \mathbf {b} .}
W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta-Serreta mają postać:
e
j
′
(
s
)
=
χ
j
(
s
)
e
j
+
1
−
χ
j
−
1
(
s
)
e
j
−
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{j}^{'}(s)=\chi _{j}(s)\mathbf {e} _{j+1}-\chi _{j-1}(s)\mathbf {e} _{j-1))
dla
j
=
1
…
n
.
{\displaystyle j=1\dots n.}
W języku macierzy wyglądają tak:
[
e
1
′
(
s
)
⋮
e
n
′
(
s
)
]
=
[
0
χ
1
(
s
)
0
−
χ
1
(
s
)
⋱
⋱
⋱
0
χ
n
−
1
(
s
)
0
−
χ
n
−
1
(
s
)
0
]
[
e
1
(
s
)
⋮
e
n
(
s
)
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&&0\\-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(s)\\0&&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\end{bmatrix)).}
↑ a b c В.И. Смирнов, Курс высшей математики , t. 2, Гос. Издат. технико-теоретичесҝой литературы, Мосҝва-Ленинград 1951.
↑ a b F. Leja, Geometria analityczna , PWN, Warszawa 1954.
↑ Trójścian Fréneta , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-30] .