(a, b) zawiera się w [a, b], a [a, b] w R, ale stwierdzenie, że równoliczność między (a, b) i R ustala funkcja liniowa, jest chyba nadużyciem, bowiem każda funkcja liniowa (ax+b) na przedziale ma wartości w przedziale.

Funkcją, która działa z przediziału (-pi/2, pi/2) do R jest tangens, z kolei równoliczność pomiędzy (a, b) i (-pi/2, pi/2) można ustalić przez funkcję liniową, ale chyba pominięcie tangensa (lub innej bijekcji z przedziału do R) nie jest uzasadnione.

Na stronie jest zamieszczone twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera, treść twierdzenia nie budzi zastrzeżeń, jest poprawna, niestety dowód tego twierdzenia błędny, a oto kontrprzykład który mówi że w dowodzie istnieje wyraźny błąd: Niech zbiór A={1, 2, 3, 4, 5}, zaś B={-5, -4, -3, -2, -1}, zbiory te są równoliczne (a zatem zbiór A jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru B - tym podzbiorem jest cały zbiór B, oraz zbiór B jest równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru A - tym podzbiorem jest cały zbiór A) a przy okazji są to zbiory rozłączne, co nie zmienia faktu że są to zbiory równoliczne. Błąd w dowodzie jest w założeni że istnieje zbiór C zawarty w B oraz że B jest zawarty w A (punkt 1 w dowodzie), bo jak widać w kontrprzykładzie zbiory A i B spełniają założenia twierdzenia lecz żaden ze zbiorów nie jest zawarty w drugim.

Zgłoszono: Adam Ziółkowski, 15:09, 17 mar 2007 (CET)

Chodzi o to, że dokonano dowodu lematu, który pociąga za sobą tw. Cantora-Bernsteina.

Załóżmy, iż dla każdych zbiorów A, B, C takich że ${\displaystyle C\subset B\subset A}$ oraz ${\displaystyle |A|=|C|}$ mamy: ${\displaystyle |A|=|B|}$

Niech dane będą zbiory M i N takie że: ${\displaystyle |M|\leq |N|}$ i ${\displaystyle |N|\leq |M|}$ wówczas istnieje iniekcja ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ oraz iniekcja ${\displaystyle g:N\rightarrow M}$.

Mamy oczywiście: ${\displaystyle f(M)\subset N}$.

Fakt ${\displaystyle g(N)\subset M}$ pociąga za sobą: ${\displaystyle f(g(N))\subset f(M)}$

Zatem mamy następującą zależność:

${\displaystyle f(g(N))\subset f(M)\subset N}$

W tym miejscu wypada skorzystać z założenia. Aby to zrobić należy uzasadnić że ${\displaystyle |f(g(N))|=|N|}$ oczywiście jest to prawda gdyż złożenie iniekcji f i g jest iniekcją (zatem jest bijekcją na obraz dziedziny). Z tego wynika, że ${\displaystyle |M|=|f(M)|=|N|}$ co dowodzi twierdzenia Cantora-Bernsteina.

--Albi 21:06, 8 lis 2007 (CET)[odpowiedz]

Sprawdziłem, że wersja przedstawiona w artykule jest równoważnym sformuowaniem tw. C.-B. Zaraz to dopisze do artykulu....

--Albi 20:21, 14 lis 2007 (CET)[odpowiedz]

Podam odnośniki do 3 artykułów (w zasadzie 2) w Wiadomościach Matematycznych odnoszących się do tego twierdzenia:

• Z. Skupień - Prosty dowód twierdzenia Cantora-Bernsteina [1]
• J. Mioduszewski - W sprawie artykułu Z. Skupienia [2]
• Z. Skupień - Twierdzenie Cantora-Bernsteina – dowody znane-nieznane [3]

Nigdzie nie mogę się doszukać że ten dowód pochodzi od Tarskiego. Swoją drogą, które z tych dowodów wartałoby tu dorzucić i które pozycje umieścić w seksji sekcji Literatura? Loxley 20:32, 15 lis 2007 (CET)[odpowiedz]

zastanawiam się, czy nie lepiej byłoby przenieść zawartość lematu A do artykułu z tytułu, a lemat B wpleść w dowód twierdzenia.

Lepiej ale tam go trzebaby zrobić (podobnie) w języku krat zupełnych. Osoba na I roku studiów (głównie te czytają to hasło) nic z tego nie zrozumie i straci wrażenie, że dowód jest w pewnym sensie "self-contained". Tutaj zostawiłbym ten prosty dowód, a tam bym go zrobił w języku krat. Loxley (dyskusja) 18:37, 16 wrz 2010 (CEST)[odpowiedz]