• dopisać "jak duże" (w sensie jest niesprzeczne z ZFC) może być continuum - bodaj ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1))}$, ale i tak trzeba to sprawdzić i podać źródła.
• podać szkic dowodu, inny niż metoda przekątniowa że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny
• continuum a inne aksjomaty spoza ZFC.

Lista jest otwarta, proszę wpisywać propozycje. Loxley (dyskusja) 00:09, 24 lut 2010 (CET)[odpowiedz]

Ad 1. W skala alefów Stotr pisał, że mniejsze niż ${\displaystyle \aleph _{\omega ))$ Pozdr. Markotek (dyskusja) 14:36, 25 lut 2010 (CET)[odpowiedz]

Oj nie :))) Tak nie jest, po prostu ${\displaystyle \aleph _{\omega ))$ się nie nadaje bo ma przeliczalną kofinalność, ale większe jak najbardziej :) Warunek konieczny to nieprzeliczalna kofinalność. Pozdrawiam, Loxley (dyskusja) 20:20, 25 lut 2010 (CET)[odpowiedz]

Dokladnie. Kontinuum nie moze miec przeliczalnej kofinalnosci, ale wszystkie inne liczby kardynalne sa mozliwe jako wartosc kontinuum. Solovay udowodnil ze po dodaniu κ "losowych" liczb rzeczywistych (random reals) do modelu GCH, gdzie κ jest liczba kardynalna o kofinalnosci nieprzeliczalniej, kontinuum bedzie miec wartosc κ. I wszystkie liczby kardynalne zostaja liczbami kardynalnymi, np gdy ${\displaystyle \kappa =\aleph _{\omega _{1))}$ w modelu podstawowym (tz w pierwszym modelu, w ground model), to tez ${\displaystyle \kappa =\aleph _{\omega _{1))}$ w modelu po dodaniu liczb rzeczywistych.

Zrodlo: Robert Solovay, ${\displaystyle 2^{\aleph _{0))}$ can be anything it ought to be, The theory of models, North-Holland. Amsterdam, 1965, p. 435. I oczywiscie Jech, "Set Theory".

--Alef (dyskusja) 11:51, 1 sie 2010 (CEST)[odpowiedz]

Możesz sprawdzić i ew. przeredagować uwagę o tym jak duże może być c? Loxley (dyskusja) 02:14, 8 sie 2010 (CEST)[odpowiedz]

Pierwszy dowod Cantora byl taki: Niech ${\displaystyle \{c_{1},c_{2},c_{3},\ldots \))$ bedzie gestym zbiorem liczb rzeczywistych. Znajdziemy liczbe a nie nalezaca do tego zbioru w nastepujacy sposob:

• Niech ${\displaystyle a_{0}<b_{0))$ beda pierwszymi liczbami na tej liscie. (Jesli ${\displaystyle c_{0}\not =c_{1))$, to albo ${\displaystyle a_{0}=c_{0},a_{1}=c_{1))$ albo ${\displaystyle a_{0}=c_{1},a_{1}=c_{0))$.)
• Niech ${\displaystyle a_{1}<b_{1))$ beda pierwszymi liczbami na tej liscie w otwartym odcinku ${\displaystyle (a_{0},b_{0})}$.
• itd. Niech ${\displaystyle a_{n+1}<b_{n+1))$ beda pierwszymi liczbami na tej liscie w odcinku ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$. Jesli ${\displaystyle a_{n}=c_{i_{n)),b_{n}=c_{j_{n))}$, ${\displaystyle a_{n+1}=c_{i_{n+1)),b_{n+1}=c_{j_{n+1))}$, to ${\displaystyle \max(i_{n},j_{n})<\min(i_{n+1},j_{n+1})}$.
• ...

W koncu, niech ${\displaystyle a:=\sup\{a_{0},a_{1},\ldots \))$, ${\displaystyle b:=\inf\{b_{0},b_{1},\ldots \))$. To ${\displaystyle a\leq b}$, i zadna liczba z listy ${\displaystyle \{c_{1},c_{2},c_{3},\ldots \))$ moze sie znalezc w odcinku [a,b]. W szczegolnosci, liczba a nie nalezy do danego zbioru. --Alef (dyskusja) 13:32, 1 sie 2010 (CEST)[odpowiedz]