Hilberts Hotell er et paradoks om et hypotetisk hotell som matematikeren David Hilbert har brukt for å illustrere uendelighetsbegrepet.

Anta et hotell har uendelig mange rom. En dag kommer det en gjest inn og sier at alle rommene er opptatte. Resepsjonisten tenker litt over problemet, og svarer med å be alle beboere flytte til et romnummer høyere. Dvs.

${\displaystyle {\text{Person i Rom 1))\longrightarrow {\text{Person i Rom 2))}$

${\displaystyle {\text{Person i Rom 2))\longrightarrow {\text{Person i Rom 3))}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {\text{Person i Rom ))n\longrightarrow {\text{Person i Rom ))n+1}$

${\displaystyle \vdots }$

osv. Dermed vil Rom 1 være tomt slik at en ny gjest kan flytte inn. Uformelt, betyr dette at ${\displaystyle 1+\infty =\infty }$.

Anta fortsatt at et hotell har uendelig mange rom. En dag kommer det uendelig mange gjester til hotellet. Resepsjonisten gir de ankomne gjestene ledige rom ved å flytte alle beboere til det dobbelte av romnummeret deres. Dvs.

${\displaystyle {\text{Person i Rom 1))\longrightarrow {\text{Person i Rom 2))}$

${\displaystyle {\text{Person i Rom 2))\longrightarrow {\text{Person i Rom 4))}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle {\text{Person i Rom ))n\longrightarrow {\text{Person i Rom ))2n}$

${\displaystyle \vdots }$

osv. Dermed vil alle rom med oddetall være tomme slik at de ankomne gjestene kan flytte inn. Uformelt, betyr dette at ${\displaystyle 2\cdot \infty =\infty }$

Eksemplene med Hilberts hotell gir sluttsatsen om at mengden av partall, mengden av oddetall mengden av naturlige tall, mengden av heltall og mengden av rasjonale tall har samme kardinalitet og er alle sammen derfor tellbart uendelige.

• Tellbarhet.
• Kardinalitet.