For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for
Тригонометриски функции.
Тригонометриски функции
Тригонометриска функција — функција на агол. Името го добилеа по гранката од математиката која ги користи за решавање триаголници, а која се нарекува тригонометрија.
Кога аголот, знали аргументот на овие функции е реален број, тогаш тие се функции на рамнинската тригонометрија: синус и косинус, од кои се изведуваат сите останати. Од останатите основни функции на агол често во употреба се тангенс, па и котангенс, потоа, малку поретко се среќаваат косеканс и секанс, и конечно најретко синус версус и косинус версус. Кога аголот е комплексен број тогаш функциите на агол може да преминат во хиперболични функции.
Основните тригонометриски функции, синус, косинус и тангенс обично се дефинираат со помош на правоаголен триаголник (види ја сликата десно). Имено, односот на две страни во правоаголниот триаголник е функција од остриот агол на триаголникот и затоа односите меѓу страните на правоаголниот триаголник се нарекуваат тригонометриски функции. Поимот „тригонометрија“ потекнува од грчките зборови за триаголник (тригонос) и за мерење (метрео), т.е. поимот тригонометрија буквално значи „мерење на триаголникот“. Синус од остар агол во правоаголен триаголник е односот меѓу спротивната катета на тоја гол и хипотенузата. Косинус од остриот агол во правоаголен триаголник е односот меѓу прилегнатата катета и хипотенузата. Тангенс е односот меѓу спротивната и прилегнатата катета на остар агол во правоаголен триаголник. Котангенс е односот меѓу прилегнатата и спротивната катета на остар агол во правоаголен триаголник.[1]
Позитивен математички агол има спротивна насока од стрелките на часовникот.
На претходната слика (3) претставен е Декартовиот правоаголен координатен систем и точката D на тригонометриската кружница. Аголот BOD = φ може неограничено да расте додека подвижниот крак на аголот (OD) проаѓа редум низ првиот, вториот, третиот и четвртиот квадрант, а потоа повторно по истиот круг. Значи, аголот φ може да расте до 360° и понатаму. Притоа проекциите на точката D на апсцисата и ординатата секогаш се сметаат како косинус и синус на аголот φ. Тоа значи дека косинусот е позитивен кога точката D во првиот и четвртиот квадрант, а дека синусот е позитивен кога точката D е во првиот и вториот квадрант. Детално тоа се гледа во следната табела:
Преку тригонометриската кружница или адиционите формули лесно може да се провери точноста на формулата за сведување на вредностите на тригонометриските функции на функции на агли од првиот квадрант:
Функциите косинус и синус се периодични со основен период од 360°, a функцијата тангенс е периодична со период од 180°:
Периодот на синусната и косинусната функција може да се најде од формулата:
Така периодот на функцијата е еднаков , односно .
Функциите на агли поголеми од 360 степени со претходните формули се сведува на функции од помали агли, а потоа, ако е потребно, на првиот квадрант, на начин видлив во следната табела:
Во општ случај тоа може да се запише вака:
Притоа f — е произволна тригонометриска функција, g — е нејзината соодветна функција (косинус за синус, синус за косинус и аналогно за останатите функции), а n — цел број.
За некои од аглите од првиот квадрант функциите полесно се пресметуваат:
Најчести вредности на тригонометриските функции
0°
30°
45°
60°
90°
0
1
1
0
0
1
Еден од начинот на пресметување на овие вредности е прикажан во прегледот на основни агли. Од табелата се гледа дека веќе кај „основните“ агли тригонометриските функции се ирационални броеви и дека слични изрази за други агли би можело да бидат уште посложени. Поедноставен од тие посложени изрази би бил, на пример и тоа е најмалиот агол чиј синус може да се претстави со запис на проста алгебарска комбинација од рационални броеви и корени. Со векови тригонометриските вредности биле запишувани во тригонометриски таблици, на 5 до 10 децимали, a во последно време се користат скоро исклучиво сметач или калкулатор.
Вредностите на тригонометриските функции на некои агли кои се пресметуваат по нешто подолг пат се дадени во следната табела:
Кога точката D еднаш ја обиколи кружницата поминува пат 2π односно прави 360°. Лак со должина π одговара на агол од 180° - рамен агол, π/2 е 90° - прав агол, π/3 е 60°, π/4 е 45°, π/6 е 30°, и општо лак со должина xрадијани одговара на агол од 360x/2π степени. За еден радијан, х = 1, се добива агол 57,2957795... степени, т.е. во степени, минути и секунди 57°17'44,8". Еден степен има 60 минута, а една минута има 60 секунди. Изразите минути и секунди потекнуваат од латинските зборови: partes minutae primae и partes minutae secundae, т.е. први мали делови и втори мали делови. Математичките текстови за единица агол го подразбираат радијанот.
На сликата лево се гледа тетивата која сигурно е пократка од лакотТетивата е најкраткото растојание меѓу две точки на кружница. Затоа полутетивата е пократка од полулакот Триаголникот ODA, со остар агол е правоаголен. Правиот агол е во темето D, катетата ОD изнесува , катетата DA изнесува , хипотенузата е со должина еден. Кога аголот е во радијани и тогаш
Теорема 1
Доказ: Следи од и Крај.
Кога аголот тежи кон нула преку позитивните вредности, тогаш синусот е позитивен, а негативен е кога аголот тежи кон нула преку негативни вредности. Косинусот пак во двата случаја е позитивен. Од тоа произлегуваат лимесите за котангенс: Со замена на х со комплементен агол се добиваат соодветните лимеси за тангенс.
Теорема 2
Доказ
На сликата десно, површината на правоаголниот триаголник OCD е помала од површината на кружниот исечок OAD, а оваа повторно е помала од површината на правоаголниот триаголник OAB. Со х агол AOB. Оттука Ако овие нееднаквости ги поделиме со (позитивен) ќе добиеме а оттука Со вреди па е Синус е непарна функција па доказот за негативни агли е ист. Крај на доказот.
Прегледот на скоро сите особини на тригонометриските функции кои се однесуваат на решавање на триаголници се дадени во статијата: рамнинска тригонометрија.
Во посебен прилог може да се најдат доказите за адиционите формули, каде спаѓаат и формулите за двојни агли, потоа половини агли, како и претставување на збир и разлика на тригонометриски функции со помош на производ и обратно, и изразување на останатите тригонометриски функции со помош на тангенс од половина агол.
Исто така, во посебен прилог се дадени тригонометриските равенки.
Тригонометриски функции како решенија на диференцијални равенки
Инверзни тригонометриски функции се arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Тие се инверзни на тригонометриските функции sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Претставката аркус потекнува од латинскиот збор arcus - лак, агол. Се нарекуваат и циклометриски функции.
Примената на тригонометријата и тригонометриските функции во физиката е многу голема.
Така на пример доста се користат во анализа на простирањето на брановите, опишување на хармониските осцилации како периодични движења, претставување на наизменичната струја, итн.
This browser is not supported by Wikiwand :( Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience. Please download and use one of the following browsers:
Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.
X
Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!