모형 이론에서 구조(構造, 영어: structure)는 어떤 주어진 1차 논리 언어의 해석을 갖춘 집합이다.

자연수(음이 아닌 정수)의 집합을 ${\displaystyle \mathbb {N} }$이라고 쓰자.

부호수(符號數, 영어: signature) ${\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}$는 다음과 같은 튜플이다.

• ${\displaystyle F}$는 집합이다. ${\displaystyle F}$의 원소를 연산(演算, 영어: operation)이라고 한다.
• ${\displaystyle R}$는 집합이다. ${\displaystyle R}$의 원소를 관계(關係, 영어: relation)라고 한다.
• ${\displaystyle \operatorname {arity} _{F}\colon F\to \mathbb {N} }$는 함수이다. ${\displaystyle f\in F}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {arity} _{F}(f)=n}$이라면, ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle n}$항 연산(영어: ${\displaystyle n}$-ary operation)이라고 한다.
• ${\displaystyle \operatorname {arity} _{R}\colon R\to \mathbb {N} }$는 함수이다. ${\displaystyle r\in R}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {arity} _{R}(r)=n}$이라면, ${\displaystyle r}$를 ${\displaystyle n}$항 관계(영어: ${\displaystyle n}$-ary relation)라고 한다.

부호수 ${\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}$의 구조 ${\displaystyle (M,F_{M}^{n},R_{M}^{n})_{n\in \mathbb {N} ))$는 다음과 같은 튜플이다.

• ${\displaystyle M}$은 집합이다. 이를 구조의 전체(全體, 영어: universe)라고 한다.
• 각 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle F_{M}^{n}\colon \operatorname {arity} _{F}^{-1}(n)\to M^{M^{n))}$이다. ${\displaystyle f\in \operatorname {arity} _{F}^{-1}(n)}$에 대하여, ${\displaystyle F_{M}^{n}(f)\colon M^{\operatorname {arity} _{F}(f)}\to M}$을 보통 ${\displaystyle f_{M))$이라고 쓰며, ${\displaystyle n}$항 연산 ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle M}$에서의 해석(解釋, 영어: interpretation)이라고 한다.
• 각 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, ${\displaystyle R_{M}^{n}\colon \operatorname {arity} _{R}^{-1}(n)\to {\mathcal {P))(M^{n})}$이다. ${\displaystyle r\in \operatorname {arity} _{R}^{-1}(n)}$에 대하여, ${\displaystyle R_{M}^{n}(r)\subset M^{\operatorname {arity} _{R}(r)))$을 보통 ${\displaystyle r_{M))$이라고 쓰며, ${\displaystyle n}$항 관계 ${\displaystyle r}$의 ${\displaystyle M}$에서의 해석(解釋, 영어: interpretation)이라고 한다.

관계를 포함하지 않는 부호수를 대수적 부호수(영어: algebraic signature)라고 하고, 대수적 부호수의 구조를 대수 구조라고 한다.

부호수 ${\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}$의 (1차 논리) 언어(言語, 영어: language) ${\displaystyle {\mathcal {L))}$은 공식(公式, 영어: formula)과 항(項, 영어: term)으로 구성된다. ${\displaystyle {\mathcal {L))}$의 항은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

• 변수 ${\displaystyle x_{i))$는 항이다 (${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$).
• 항 ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n))$ 및 ${\displaystyle n}$항 연산 ${\displaystyle f\in F}$에 대하여, ${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n})}$은 항이다.

${\displaystyle {\mathcal {L))}$의 공식은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

• 항 ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n))$ 및 ${\displaystyle n}$항 관계 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, ${\displaystyle r(t_{1},\dots ,t_{n})}$는 공식이다.
• 항 ${\displaystyle t_{1},t_{2))$에 대하여, ${\displaystyle t_{1}=t_{2))$는 공식이다.
• 공식 ${\displaystyle \phi }$에 대하여, ${\displaystyle \lnot \phi }$는 공식이다.
• 공식 ${\displaystyle \phi }$ 및 ${\displaystyle \psi }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \phi }$에 등장하는 제한 변수가 ${\displaystyle \psi }$에 등장하지 않으며, 마찬가지로 ${\displaystyle \psi }$에 등장하는 제한 변수가 ${\displaystyle \phi }$에 등장하지 않는다면, ${\displaystyle \phi \land \psi }$는 공식이다.
• 변수 ${\displaystyle x_{i))$ 및 공식 ${\displaystyle \phi }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \phi }$가 이미 ${\displaystyle \forall x_{i}\colon }$를 포함하지 않는다면, ${\displaystyle \forall x_{i}\colon \phi }$는 공식이다.

만약 ${\displaystyle \phi }$ 속에 변수 ${\displaystyle x_{i))$가 등장하지만 ${\displaystyle \forall x_{i}\colon }$가 등장하지 않는다면, ${\displaystyle x_{i))$를 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)라고 하고, ${\displaystyle \forall x_{i}\colon }$가 등장한다면 ${\displaystyle x_{i))$를 제한 변수(制限變數, 영어: bound variable)라고 한다. 자유 변수가 없는 공식을 문장(文章, 영어: sentence)이라고 한다. 문장들의 집합을 이론(理論, 영어: theory)이라고 한다.

부호수 ${\displaystyle \sigma }$의 언어에 속하는 공식 ${\displaystyle \phi }$가 ${\displaystyle n}$개의 자유 변수 ${\displaystyle {\vec {x))=(x_{1},\dots ,x_{n})}$을 갖는다고 하자. 부호수 ${\displaystyle \sigma }$의 구조 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle {\vec {a))\in M^{n))$에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면, ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle \phi }$를 치환 ${\displaystyle {\vec {x))\mapsto {\vec {a))}$ 아래 만족시킨다(滿足시킨다, 영어: satisfy)고 하고, ${\displaystyle M\models \phi [{\vec {a))/{\vec {x))]}$라고 쓴다. 여기서 부호수의 언어의 논리 기호 ${\displaystyle =}$, ${\displaystyle \lnot }$, ${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \forall }$은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 괄호 ${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$ 속에 적었다.

• ${\displaystyle M\models \langle t_{1}=t_{2}\rangle [{\vec {a))/{\vec {x))]\iff t_{1}[{\vec {a))/{\vec {x))]=t_{2}[{\vec {a))/{\vec {x))]}$. 여기서 ${\displaystyle t[{\vec {a))/{\vec {x))]}$는 항 ${\displaystyle t}$ 속에 등장하는 모든 변수 ${\displaystyle x_{i))$를 이에 대응하는 ${\displaystyle a_{i))$로 치환하고, ${\displaystyle t}$ 속에 등장하는 모든 연산 ${\displaystyle f\in F}$를 ${\displaystyle f_{M))$으로 치환하여 얻은 원소 ${\displaystyle \in M}$이다.
• ${\displaystyle M\models \langle R(t_{1},\dots ,t_{n})\rangle [{\vec {a))/{\vec {x))]\iff R_{M}(t_{1}[{\vec {a))/{\vec {x))],\dots ,t_{n}[{\vec {a))/{\vec {x))])}$
• ${\displaystyle M\models \langle \phi \land \chi \rangle \iff (M\models \phi )\land (M\models \chi )}$
• ${\displaystyle M\models \langle \lnot \phi \rangle \iff \lnot (M\models \phi )}$
• ${\displaystyle M\models \langle \forall y\colon \phi (y)\rangle [{\vec {a))/{\vec {x))]\iff \forall b\in M\colon M\models \phi [({\vec {a)),b)/({\vec {x)),y)]}$

부호수 ${\displaystyle \sigma }$의 언어에서, ${\displaystyle n}$개의 자유 변수 ${\displaystyle {\vec {x))}$를 갖는 공식 ${\displaystyle \phi }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle M\models \phi [{\vec {a))/{\vec {x))]}$인 ${\displaystyle \sigma }$-구조 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle {\vec {a))\in M^{n))$이 존재한다면, ${\displaystyle \phi }$를 만족 가능 공식(滿足可能命題, 영어: satisfiable formula)이라고 한다.

이론 ${\displaystyle {\mathcal {T))}$의 모형(模型, 영어: model)은 모든 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T))}$에 대하여 ${\displaystyle M\models \phi }$인 ${\displaystyle \sigma }$-구조 ${\displaystyle M}$이다. 모형을 갖는 이론을 만족 가능 이론(滿足可能理論, 영어: satisfiable theory)이라고 한다. (이는 만족 가능 문장들로 구성된 이론보다 강한 조건이다.)

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• Weisstein, Eric Wolfgang. “Structure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Model”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Interpretation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Satisfiable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
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