집합론에서 누적 위계(累積位階, 영어: cumulative hierarchy)는 주어진 연산을 초한 점화식을 사용하여 초한 번 반복하여 구성되는 모임이다.

${\displaystyle Q}$가 집합을 집합에 대응시키는 연산이라고 하자. 또한, 추이적 집합 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 초한 귀납법을 사용하여, 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ord} }$에 대하여 다음과 같은 집합들을 정의할 수 있다.

${\displaystyle Q^{\alpha }(X)={\begin{cases}X\cup \bigcup _{\beta <\alpha }X_{\beta }&\nexists \beta \colon \alpha =\beta +1\\Q\left(Q^{\beta }(X)\right)&\alpha =\beta +1\end{cases))\qquad (\alpha \in \operatorname {Ord} )}$

또한, 다음과 같은 모임을 정의할 수 있다.

${\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=\bigcup _{\alpha \in \operatorname {Ord} }(X)}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$는 모든 순서수의 모임이다. 이러한 구성을 누적 위계라고 하며, 임의의 대상 ${\displaystyle x\in Q^{\operatorname {Ord} }(X)}$에 대하여,

${\displaystyle \min\{\alpha \colon x\in Q^{\alpha }\))$

를 ${\displaystyle x}$의 ${\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)}$에서의 계수(영어: rank)라고 한다. (만약 ${\displaystyle Q}$가 주어지지 않았다면, 이는 흔히 폰 노이만 위계에서의 계수를 뜻한다.)

${\displaystyle Q}$가 집합을 집합으로 대응시키므로, 임의의 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 ${\displaystyle Q^{\alpha }(X)}$는 항상 집합이다.

그러나 ${\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)}$는 집합이 아니라 고유 모임일 수 있다. 이는 칸토어 역설의 일종이다.

어떤 집합 ${\displaystyle A}$에 대하여, ${\displaystyle Q}$가 상수 함수 ${\displaystyle X\mapsto A}$일 때, ${\displaystyle Q}$에 대한 위계는

${\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }=A}$가 된다.

${\displaystyle Q}$가 항등 함수 ${\displaystyle X\mapsto X}$일 때, ${\displaystyle Q}$에 대한, ${\displaystyle X}$로부터 시작하는 위계는

${\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=X}$

이다. 보다 일반적으로, 어떤 순서수 ${\displaystyle \alpha _{0))$가 다음 성질을 갖는다고 하자.

• 임의의 ${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0))$에 대하여 ${\displaystyle Q}$는 ${\displaystyle X_{\alpha ))$에 대하여 항등 함수이다.

그렇다면

${\displaystyle Q^{\operatorname {Ord} }(X)=Q^{\alpha }(X)}$

이다.

${\displaystyle Q={\mathcal {P))}$ (멱집합 연산)일 때, ${\displaystyle Q^{\alpha }(\varnothing )}$는 ${\displaystyle V_{\alpha ))$로 표기하며, ${\displaystyle V=Q^{\operatorname {Ord} }(\varnothing )}$를 폰 노이만 전체(von Neumann全體, 영어: von Neumann universe)라고 한다.

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정칙성 공리로 인하여 ${\displaystyle V}$는 모든 집합의 모임과 같으며, 집합 ${\displaystyle S}$의 계수 ${\displaystyle \operatorname {rank} S}$는 다음과 같은 순서수이다.

${\displaystyle \operatorname {rank} S=\min\{\alpha \in \operatorname {Ord} \colon S\subset V_{\alpha }\))$

즉, ${\displaystyle S}$가 부분 집합으로 등장하는 최초의 단계이다.

${\displaystyle V}$는 (모든 집합을 포함하므로) 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이다. 최소 무한 순서수를 ${\displaystyle \omega }$로 쓰면, ${\displaystyle V_{\omega ))$는 계승적 유한 집합들의 집합이 되며, 이는 무한 공리를 가정하지 않는 집합론의 모형을 이룬다. ${\displaystyle \kappa }$가 도달 불가능한 기수일 경우 ${\displaystyle V_{\kappa ))$는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형이며, ${\displaystyle V_{\kappa +1))$은 모스-켈리 집합론의 모형이다. 이러한 꼴의 ${\displaystyle V_{\kappa ))$를 그로텐디크 전체라고 한다.

${\displaystyle Q=\operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n))}$ (정의 가능 멱집합 연산)일 때, ${\displaystyle Q^{\alpha }(X)}$는 ${\displaystyle L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)}$로 표기하며, ${\displaystyle L(X)=Q^{\operatorname {Ord} }(X)}$를 ${\displaystyle X}$-구성 가능 집합(영어: ${\displaystyle X}$-constructible universe)이라고 한다. 흔히 ${\displaystyle X=\varnothing }$일 경우 ${\displaystyle L[A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}](\varnothing )=L}$로 표기하며, ${\displaystyle n=0}$일 경우 흔히 ${\displaystyle L(X)}$로 표기한다.

임의의 집합 ${\displaystyle X}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

${\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P))(S\times X)}$

에 대한 누적 위계를 ${\displaystyle X}$-이름 위계(영어: hierarchy of ${\displaystyle X}$-names)라고 하며,^{[1]:188, Definition VII.2.5} ${\displaystyle \operatorname {Name} _{X,\alpha ))$로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

1889년에 주세페 페아노는 참 또는 모든 대상들의 모임을 라틴어: vērum 베룸^[*](참)의 머리글자 V로 나타내었다.^{[2]:VIII, XI} (페아노는 명제와 이로부터 정의되는 모임을 구별하지 않았다.)

이후 1928년에 존 폰 노이만이 초한 귀납법을 도입하였으나,^[3][4] 폰 노이만은 구성 가능 전체를 도입하지 않았다.^{[5]:279, §4.10} 곧 에른스트 체르멜로가 1930년에 이를 사용하여 폰 노이만 전체 ${\displaystyle V}$를 최초로 도입하였다.^{[6]:36–40[5]:270, §4.9}

• Boolos, George (1971년 4월 22일). “The iterative conception of set”. 《The Journal of Philosophy》 (영어) 68 (8): 215–231. doi:10.2307/2025204. ISSN 0022-362X. JSTOR 2025204. 
• Forster, Thomas (2008년 6월). “The iterative conception of set”. 《The Review of Symbolic Logic》 (영어) 1 (1): 97–110. doi:10.1017/S1755020308080064. 

• “Cumulative hierarchy”. 《nLab》 (영어). 
• “Von Neumann hierarchy”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: Von Neumann hierarchy”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: Well-founded set”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: rank (set theory)”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Set has rank”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Every set in von Neumann universe”. 《ProofWiki》 (영어). 2015년 6월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 7월 26일에 확인함.