논리학과 컴퓨터 과학에서 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)는 수식 속의 변수 가운데 상숫값으로 치환할 수 있는 것이다. 반대로 종속 변수(從屬變數, 영어: bound variable)는 상숫값으로 치환하였을 때 수식이 본래의 의미를 잃게 되는 변수이다. 종속 변수 대신 가변수(假變數, 영어: dummy variable)라고도 하나, 이는 회귀 분석의 용어로서 더 많이 쓰인다. 컴퓨터 프로그래밍에서 자유 변수는 전역 변수, 종속 변수는 지역 변수를 가리킨다. 이 경우, 자유 변수는 대략 함수의 바깥에서 정의된 변수를 뜻한다.^[1]

어떤 수식의 변수 ${\displaystyle x}$가 다음과 같은 꼴의 부분 수식 속에 나타난다면, 그 위치의 ${\displaystyle x}$를 종속 변수라고 한다.

• ${\displaystyle \forall x(\cdots )}$
• ${\displaystyle \exists x(\cdots )}$
• ${\displaystyle \sum _{x}(\cdots )}$
• ${\displaystyle \int (\cdots )dx}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}(\cdots )}$
• 기타 등등

여기서 ${\displaystyle \forall }$는 전칭 기호, ${\displaystyle \exists }$는 존재 기호, ${\displaystyle \textstyle \sum }$은 급수, ${\displaystyle \textstyle \int }$는 적분, ${\displaystyle \textstyle \lim }$은 극한이다. ${\displaystyle \forall x}$의 ${\displaystyle x}$까지 종속 변수인지는 문맥에 따라 다르다.^[2][3]:17 종속 변수가 아닌 변수를 자유 변수라고 한다.

수식

${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}{\frac {m}{n))}$

에서, ${\displaystyle m}$은 자유 변수, ${\displaystyle n}$는 종속 변수이다. 따라서, 이 급수는 ${\displaystyle m}$의 함수이지만, ${\displaystyle n}$의 함수는 아니다.

수식

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,y)dx}$

에서, ${\displaystyle x}$는 종속 변수, ${\displaystyle y}$는 자유 변수이다. 즉, 이 적분은 ${\displaystyle y}$의 함수이지만 ${\displaystyle x}$의 함수가 아니다.

변수에 상숫값을 대입시킬 때에는 반드시 자유 변수에만 대입시켜야 한다. 예를 들어, 급수

${\displaystyle n+\sum _{n=1}^{10}n}$

속의 세 개의 ${\displaystyle n}$ 가운데, 첫째 ${\displaystyle n}$은 자유 변수, 둘째와 셋째 ${\displaystyle n}$은 종속 변수이다. 여기에 ${\displaystyle n=5}$를 대입시키려면, 자유 변수인 첫째 변수에만 대입시켜야만 정확한 결과

${\displaystyle 5+\sum _{n=1}^{10}n=5+55=60}$

를 얻는다. 만일 ${\displaystyle n=5}$를 이 급수의 자유 변수와 종속 변수에 대입시키면,

${\displaystyle 5+\sum _{5=1}^{10}5}$

를 얻으며, 이는 무의미한 수식이다. 만일 첫째와 셋째 ${\displaystyle n}$에만 대입시키면,

${\displaystyle 5+\sum _{n=1}^{10}5=5+50=55}$

를 얻으며, 이 식의 값은 ${\displaystyle n+55}$에 ${\displaystyle n=5}$를 대입한 결과값과 다르다.

종속 변수를 다른 변수로 대신하여도 수식의 의미가 변하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 세 급수는 완전히 같은 급수이다.

${\displaystyle \sum _{m=1}^{10}m=\sum _{n=1}^{10}n=\sum _{k=1}^{10}k}$

논리식

${\displaystyle x>1\lor x<-1}$

에서, ${\displaystyle x}$는 자유 변수이다. 여기에 상숫값인 ${\displaystyle x=3}$을 대입하여 얻는

${\displaystyle 3>1\lor 3<-1}$

은 여전히 유의미한 논리식이다.

논리식

${\displaystyle \exists x(x<0)}$

에서, 두 ${\displaystyle x}$는 모두 종속 변수이다. 여기에 상숫값인 ${\displaystyle x=3}$을 대입하여 얻는 논리식은 원래의 논리식과 같다. 만일 둘째 ${\displaystyle x}$를 3으로 대신하면

${\displaystyle \exists x(3<0)}$

을 얻는데, 이는 3이 음수라는 의미의 거짓 명제이지만, 원래의 논리식은 음수가 존재한다는 의미의 참인 명제이다. 또한, 바뀐 논리식의 변수 ${\displaystyle x}$를 다른 변수로 치환하여도 의미가 변하지 않는다. 예를 들어,

${\displaystyle \exists y(y<0)}$

는 원래의 논리식과 동치이다.

• 네임 바인딩

• “Free variable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Bound variable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Free variable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bound variable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dummy variable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Free and bound variables”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Free variable”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Bound variable”. 《ProofWiki》 (영어).