오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식이다.

사용되는 경우로는 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러 항등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러 공식은 다음과 같다. 실수 ${\displaystyle x~}$에 대해, 허수 지수 ${\displaystyle ix~}$를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x}$

여기서, e는 자연로그의 밑이고, ${\displaystyle i~}$는 제곱하여 ${\displaystyle -1~}$이 되는(${\displaystyle i^{2}=-1}$) 허수단위, ${\displaystyle \sin }$, ${\displaystyle \cos }$은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

${\displaystyle x}$에 ${\displaystyle \pi }$를 대입하여, 오일러 항등식 ${\displaystyle e^{i\pi }=-1}$을 구할 수 있다.

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다.

${\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)\,=\,ix}$

지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 <대수학 원론>(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.^[1]

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

${\displaystyle e^{x}=((x^{0)) \over {0!))+((x^{1)) \over {1!))+{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{3)){3!))+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n)){n!))}$

따라서

${\displaystyle {\begin{array}{rll}e^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{3)){3!))+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n)){n!))\\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{4)){4!))-{\frac {x^{6)){6!))+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){(2n)!))x^{2n}\\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3)){3!))+{\frac {x^{5)){5!))-{\frac {x^{7)){7!))+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){(2n+1)!))x^{2n+1}\\\end{array))}$

이때 ${\displaystyle x}$가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}=1+iz+{\frac {(iz)^{2)){2!))+{\frac {(iz)^{3)){3!))+{\frac {(iz)^{4)){4!))+{\frac {(iz)^{5)){5!))+{\frac {(iz)^{6)){6!))+{\frac {(iz)^{7)){7!))+{\frac {(iz)^{8)){8!))+\cdots \\&{}=1+iz-{\frac {z^{2)){2!))-{\frac {iz^{3)){3!))+{\frac {z^{4)){4!))+{\frac {iz^{5)){5!))-{\frac {z^{6)){6!))-{\frac {iz^{7)){7!))+{\frac {z^{8)){8!))+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2)){2!))+{\frac {z^{4)){4!))-{\frac {z^{6)){6!))+{\frac {z^{8)){8!))-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3)){3!))+{\frac {z^{5)){5!))-{\frac {z^{7)){7!))+\cdots \right)\\&{}=\cos z+i\sin z\end{aligned))}$

가 된다.

${\displaystyle f(x)=e^{-ix}(\cos x+i\sin x)\cdots (1)}$ 라면,

${\displaystyle {\frac {d}{dx))f(x)=-ie^{-ix}(\cos x+i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x+i\cos x)=e^{-ix}(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)=0}$

${\displaystyle \therefore f(x)=C}$ (단, ${\displaystyle C}$는 상수)

(1)에 ${\displaystyle x=0}$을 대입하면,

${\displaystyle f(0)=1}$

${\displaystyle \therefore C=1}$

${\displaystyle e^{-ix}(\cos x+i\sin x)=1}$

${\displaystyle e^{ix}=(\cos x+i\sin x)}$

Q.E.D.

다음과 같은 복소수 ${\displaystyle z}$를 생각하자:

${\displaystyle z=\cos x+i\sin x\,}$

양변을 ${\displaystyle x}$에 대해 미분하면:

${\displaystyle {\frac {dz}{dx))=-\sin x+i\cos x}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$이므로:

${\displaystyle {\frac {dz}{dx))=i^{2}\sin x+i\cos x=i(\cos x+i\sin x)=iz}$

z를 이항한 후 양변을 적분하면:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z))\,{\frac {dz}{dx))&=i\\\int {\frac {1}{z))\,dz&=\int i\,dx\\\ln z&=ix+C\end{aligned))}$

(여기에서 ${\displaystyle C}$는 적분 상수이다.)

이제 ${\displaystyle C=0}$이라는 것을 증명한다. ${\displaystyle x=0}$일 경우를 계산해보면

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln z&=C\\z&=\cos x+i\sin x=\cos 0+i\sin 0=1\end{aligned))}$

따라서

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 1&=C\\C&=0\end{aligned))}$

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln z&=ix\\z&=e^{ix}\\e^{ix}&=\cos x+i\sin x\end{aligned))}$

Q.E.D.

함수 ${\displaystyle g(x)}$를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle g(x)=e^{ix))$

허수단위 ${\displaystyle i}$는 상수이므로 ${\displaystyle g(x)}$의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)&=ie^{ix}\\g''(x)&=i^{2}e^{ix}=-e^{ix}\end{aligned))}$

이로부터

${\displaystyle g''(x)=-g(x)\ }$ 또는

${\displaystyle g''(x)+g(x)=0\ }$ 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,

일차 독립인 두 해가 발생한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}(x)&=\cos x\\g_{2}(x)&=\sin x\end{aligned))}$

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=Ag_{1}(x)+Bg_{2}(x)\\&=A\cos x+B\sin x\\g'(x)&=-A\sin x+B\cos x\end{aligned))}$

(${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 상수)

그리고 여기에 함수 ${\displaystyle g(x)}$ 의 초기 조건

${\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=e^{i0}&=1\\g'(0)&=ie^{i0}&=i\end{aligned))}$ 을 대입하면,

${\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&={\color {White}-}A\cos 0+B\sin 0&=A\\g'(0)&=-A\sin 0+B\cos 0&=B\end{aligned))}$

곧,

${\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=A&=1\\g'(0)&=B&=i\end{aligned))}$

이므로

${\displaystyle g(x)\,=\,e^{ix}=\cos x+i\sin x}$이다.

Q.E.D.

오일러 공식은 위 소설의 모티브로도 사용이 되었다. 오일러 공식에 숨어 있는 뜻을 cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다.

${\displaystyle \operatorname {cis} (\theta )=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$

이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.

우선 이 공식을 이해하기 위해서는 멱급수가 무엇인지 알고 있어야 한다. 멱급수란 하나의 수의 지수를 증가시키며 모두 더한 값을 말하며, 지수함수의 멱급수는 다음과 같다.

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2)){2))+{\frac {x^{3)){3\times 2))+{\frac {x^{4)){4\times 3\times 2))+\cdot \cdot \cdot }$

이 멱급수의 지수 ${\displaystyle x}$에 ${\displaystyle iz}$(복소수에 임의의 수 ${\displaystyle z}$를 곱한 값)을 추가하면, ${\displaystyle i\sin z}$에 ${\displaystyle \cos z}$를 더한 값과 완벽하게 일치했다.

즉, ${\displaystyle e^{iz}\,=\,\cos z+i\sin z}$가 성립하는 것이다.

이 등식에서 ${\displaystyle z}$에 ${\displaystyle \pi }$를 대입했을 때 나오는 특수한 등식이 바로 오일러의 등식이다.

^[2]

• 겔폰트 상수
• 오일러의 등식