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완전 함자

호몰로지 대수학에서 완전 함자(完全函子, 영어: exact functor)는 두 아벨 범주 사이의, 짧은 완전열을 보존하는 함자이다.

정의

[편집]

아벨 범주 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에서 로 가는 가법 함자(영어: additive functor)는 다음 성질을 만족시키는 함자 이다.

  • (가법성) 모든 대상 에 대하여, 아벨 군군 준동형이다.

아벨 범주 사이의 완전 함자는 다음 성질을 만족시키는 가법 함자 이다.

  • (완전열의 보존) 속의 임의의 짧은 완전열 에 대하여, 속의 짧은 완전열을 이룬다.

아벨 범주 사이의 가법 함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 왼쪽 완전 함자(영어: left-exact functor)라고 한다.

  • 속의 임의의 짧은 완전열 에 대하여, 속의 완전열을 이룬다.
  • 속의 임의의 완전열 에 대하여, 속의 완전열을 이룬다.

아벨 범주 사이의 가법 함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 오른쪽 완전 함자(영어: right-exact functor)라고 한다.

  • 속의 임의의 짧은 완전열 에 대하여, 속의 완전열을 이룬다.
  • 속의 임의의 완전열 에 대하여, 속의 완전열을 이룬다.

[편집]

아벨 범주동치는 항상 완전 함자이다.

아벨 범주 사영 대상 가 주어지면,

는 완전 함자이다. 마찬가지로, 단사 대상 가 주어지면,

는 완전 함자이다.

에 대한 벡터 공간들의 범주 의 경우, 쌍대 공간

은 완전 함자

를 정의한다.

외부 링크

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완전 함자
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