상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자(Sturm-Liouville演算子, 영어: Sturm–Liouville operator)는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 스튀름-리우빌 방정식(Sturm-Liouville方程式, 영어: Sturm–Liouville equation)이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville理論, 영어: Sturm–Liouville theory)이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.

실수의 닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }$이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.

${\displaystyle D\colon {\mathcal {C))^{2}([a,b],\mathbb {R} )\to {\mathcal {C))^{0}([a,b],\mathbb {R} )}$

${\displaystyle D=-{\frac {1}{w(x)))\left({\frac {d}{dx))p(x){\frac {d}{dx))+q(x)\right)=-{\frac {p(x)}{w(x))){\frac {d^{2)){dx^{2))}-{\frac {1}{w(x)))p'(x){\frac {d}{dx))-{\frac {q(x)}{w(x)))}$

여기서

• ${\displaystyle p\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+))$는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
• ${\displaystyle q\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$는 연속 함수이다.
• ${\displaystyle w\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+))$는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 무게 함수 영어: weight function라고 한다.)

닫힌구간 ${\displaystyle [a,b]}$ 위의 로뱅 경계 조건(Robin境界條件, 영어: Robin boundary condition)이란 ${\displaystyle [a,b]}$ 위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.

${\displaystyle \alpha _{a}y(a)+\beta _{a}y'(a)=0\qquad (\alpha _{a},\beta _{a}\in \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \alpha _{b}y(b)+\beta _{b}y'(b)=0\qquad (\alpha _{a},\beta _{a}\in \mathbb {R} )}$

여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.

• ${\displaystyle \alpha _{a))$ 또는 ${\displaystyle \beta _{a))$ 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 ${\displaystyle \alpha _{b))$ 또는 ${\displaystyle \beta _{b))$ 가운데 하나 이상이 0이 아니다.

즉, ${\displaystyle [\alpha _{a}:\beta _{a}]}$와 ${\displaystyle [\alpha _{b}:\beta _{b}]}$는 각각 실수 사영 직선 ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{1}=\mathbb {R} \sqcup \{\infty \))$의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간

${\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([a,b],w(x)\,\mathrm {d} x)=\left\{f\in \operatorname {L} ^{0}([a,b],\mathbb {R} )\colon \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,\mathrm {d} x<\infty \right\))$

위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

스튀름-리우빌 연산자 ${\displaystyle D}$의 고유 함수 방정식

${\displaystyle Dy(x)=\lambda y(x)}$

즉 선형 상미분 방정식

${\displaystyle -{\frac {d}{dx))\left(p(x){\frac {dy(x)}{dx))\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)}$

을 스튀름-리우빌 방정식(영어: Sturm–Liouville equation)이라고 한다. 이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로, ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle \lambda }$의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제는 스튀름-리우빌 미분 연산자의 고윳값을 구하는 문제이다.

${\displaystyle [a,b]}$ 위의 무게 함수

${\displaystyle w\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+))$

에 대한 스튀름-리우빌 연산자

${\displaystyle D\colon \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)\to \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.

${\displaystyle \lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\dotsb }$

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\lambda _{i}=+\infty }$

각 고윳값 ${\displaystyle \lambda _{i))$에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간 ${\displaystyle (a,b)}$ 속에서 정확히 ${\displaystyle i}$개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합 ${\displaystyle \{y_{0},y_{1},\dotsc \))$은 (${\displaystyle H}$의 내적에 따라 정규화하였을 때) ${\displaystyle H}$의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}y_{i}(x)y_{j}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{ij))$

모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, y가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$

양변을 P(x)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자

${\displaystyle \exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)))\,dx\right)}$

를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

베셀 방정식

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+(\lambda ^{2}x^{2}-\nu ^{2})y=0}$

은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.

${\displaystyle (xy')'+(\lambda ^{2}x-\nu ^{2}/x)y=0}$

즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는

${\displaystyle -{\frac {d}{dx))\left(x{\frac {d}{dx))\right)+\nu ^{2}/x-\lambda ^{2}x}$

이다.

르장드르 방정식

${\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}$

은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x))(1-x^{2})=-2x}$

이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.

${\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0}$

즉, ${\displaystyle \nu (\nu +1)}$은 스튀름-리우빌 연산자

${\displaystyle {\frac {d}{dx))\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx))\right)}$

의 고윳값이다.

좀 더 복잡한 예로 다음 상미분 방정식을 생각하자.

${\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}$

양변을 x³으로 나누고

${\displaystyle y''-{x \over x^{3))y'+{2 \over x^{3))y=0}$

다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.

${\displaystyle \exp \left(\int -{\frac {x}{x^{3))}\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\int -{\frac {1}{x^{2))}\,\mathrm {d} x\right)=\exp(1/x)}$

그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.

${\displaystyle \exp(1/x)y''-{\frac {1}{x^{2))}\exp(1/x)y'+{\frac {2}{x^{3))}\exp(1/x)y=0}$

이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,

${\displaystyle {\frac {d}{dx))\exp(1/x)=-{\frac {1}{x^{2))}\exp(1/x)}$

이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.

${\displaystyle (\exp(1/x)y')'+{\frac {2}{x^{3))}\exp(1/x)y=0}$

즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx))\left(\exp(1/x){\frac {d}{dx))\right)+{\frac {2}{x^{3))}\exp(1/x)}$

자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 땄다.

• 매개변수변환법

• Zettl, Anton (2005). 《Sturm–Liouville theory》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3905-5. 
• Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. 
• Everitt, W. N. (2005). 〈A catalogue of Sturm-Liouville differential equations〉 (PDF). Hinz, A. M.; Pearson, D. B. 《Sturm-Liouville Theory, Past and Present》 (영어). Birkhäuser. 271–331쪽. doi:10.1007/3-7643-7359-8_12. 2007년 2월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 3월 16일에 확인함. 

• “Sturm-Liouville operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sturm-Liouville theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sturm-Liouville problem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sturm-Liouville equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sturm-Liouville equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Sturm-Liouville theory”. 《nLab》 (영어). 
• 이철희. “스텀-리우빌 이론”. 《수학노트》.