추상대수학에서 삼중성 리 대수(三重性Lie代數, 영어: triality Lie algebra)는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군의 작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {o))(8)}$이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다.

${\displaystyle K}$가 2와 3이 가역원인 체라고 하자. ${\displaystyle K}$ 위의 합성 대수 ${\displaystyle A}$ 에 대하여, 다음을 정의하자.

${\displaystyle {\mathfrak {tri))(A)=\{(A,B,C)\in {\mathfrak {o))(A,Q)^{\oplus 3}\colon A(x\star y)=x\star By+Cx\star y\qquad \forall x,y\in A\))$

여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {o))(A,Q)}$는 ${\displaystyle A}$의 이차 형식 ${\displaystyle Q\colon A\to K}$(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다.

이는 ${\displaystyle {\mathfrak {o))(A,Q)^{\oplus 3))$의 부분 리 대수를 이룬다. 이를 ${\displaystyle A}$의 삼중성 리 대수라고 하며, ${\displaystyle {\mathfrak {tri))(A)}$로 표기한다.^{[1]:§4.1[2]:18–24}

이는 다음과 같은 ${\displaystyle K}$-벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

${\displaystyle {\mathfrak {tri))(A)\cong {\mathfrak {der))(A)\oplus \operatorname {Im} (A)\oplus \operatorname {Im} (A)}$

${\displaystyle {\mathfrak {tri))(A)}$ 위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

${\displaystyle \theta ,\zeta \colon {\mathfrak {tri))(A)\to {\mathfrak {tri))(A)}$

${\displaystyle \theta \colon (A,B,C)\mapsto (B^{*},C,A^{*})}$

${\displaystyle \zeta \colon (A,B,C)\mapsto (A^{*},C^{*},B^{*})}$

여기서

${\displaystyle A^{*}(x)=(A(x^{*}))^{*))$

를 뜻한다. 그렇다면,

${\displaystyle \theta ^{2}\colon (A,B,C)\mapsto (C^{*},A^{*},B)}$

${\displaystyle \theta ^{3}=\zeta ^{2}=\operatorname {id} }$

${\displaystyle \zeta \circ \theta =\theta ^{2}\circ \zeta \colon (A,B,C)\mapsto (B,A,C^{*})}$

${\displaystyle \theta \circ \zeta =\zeta \circ \theta ^{2}\colon (A,B,C)\mapsto (C,B^{*},A)}$

가 된다. 즉, 이는 군 준동형

${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {tri))(A))}$

를 정의한다 (${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$은 3차 대칭군). 이를 삼중성(영어: triality)이라고 한다.

또한, ${\displaystyle {\mathfrak {der))(A)}$와 ${\displaystyle {\mathfrak {tri))(A)}$ 사이에, ${\displaystyle \operatorname {Im} (A)^{\oplus 2))$의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서 ${\displaystyle {\mathfrak {der))(A)\oplus \operatorname {Im} (A)}$인 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {tri))'(A)}$가 존재한다. 이 위에는 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$ 삼중성이 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (2)}$ 이중성으로 깨지게 된다.

두 실수 합성 대수 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.^{[1]:Theorem 4.4, §4.3}

${\displaystyle {\mathfrak {freud))(3;A,B)\cong {\mathfrak {tri))(A)\oplus {\mathfrak {tri))(B)\oplus (A\otimes _{\mathbb {R} }B)^{\oplus 3))$

여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {freud))(3;A,B)}$는 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서 ${\displaystyle {\mathfrak {tri))(A)\oplus {\mathfrak {tri))(B)}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {freud))(3;A,B)}$의 부분 리 대수를 이룬다.

또한, 임의의 실수 합성 대수 ${\displaystyle A}$에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수 ${\displaystyle \operatorname {H} (3;A)}$의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.^{[1]:Theorem 4.1, §4.1}

${\displaystyle {\mathfrak {der))(\operatorname {H} (3;A))\cong {\mathfrak {tri))(A)\oplus A^{\oplus 3))$

특히, 우변에서 ${\displaystyle {\mathfrak {tri))(A)}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {der))(\operatorname {H} (3;A))}$의 부분 리 대수이다.

실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

실수 합성 대수 ${\displaystyle A}$	${\displaystyle {\mathfrak {der))(A)}$	${\displaystyle {\mathfrak {tri))'(A)}$	${\displaystyle {\mathfrak {tri))(A)}$
${\displaystyle \mathbb {R} }$	0	0	0
${\displaystyle \mathbb {C} }$	0	${\displaystyle {\mathfrak {o))(2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(2)^{\oplus 2))$
${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ))}$	0	${\displaystyle {\mathfrak {o))(1,1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(1,1)^{\oplus 2))$
${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(3)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(3)^{\oplus 3))$
${\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} ))}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(1,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(2,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(1,2)^{\oplus 3))$
${\displaystyle \mathbb {O} }$	${\displaystyle {\mathfrak {g))_{2))$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(7)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(8)}$
${\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} ))}$	${\displaystyle {\mathfrak {g))_{2(2)))$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(3,4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {o))(4,4)}$

여기서 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ))=\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$, ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} ))=\operatorname {Mat} (2,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} ))=\operatorname {Zorn} (\mathbb {R} )}$는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다.

• 삼중곱

• Distler, Jacques (2012년 1월 27일). “G₂ and Spin(8) triality”. 《Musings》 (영어).