집합론에서 사영 집합(射影集合, 영어: projective set)은 보렐 집합으로부터 사영과 여집합을 여러 번 취하여 얻을 수 있는, 폴란드 공간의 부분 집합이다.

폴란드 공간 ${\displaystyle X}$ 및 양의 정수 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+))$에 대하여, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{n}^{1))$ 집합과 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi ))_{n}^{1))$ 집합 및 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta ))_{n}^{1))$ 집합은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{1}^{1))$ 집합은 ${\displaystyle X}$의 해석적 집합이다.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi ))_{n}^{1))$ 집합은 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{1}^{1))$ 집합의 여집합이다.
• ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{n}^{1))$ 집합은 이를 만족시키는 집합이다.
  • ${\displaystyle A=\pi _{X}(C)}$가 되는 폴란드 공간 ${\displaystyle Y}$ 및 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi ))_{n-1}^{1))$ 집합 ${\displaystyle C\subset X\times Y}$가 존재한다. 여기서 ${\displaystyle \pi _{X}\colon X\times Y\to X}$는 사영 함수이다.
  • 모든 비가산 폴란드 공간 ${\displaystyle Y}$에 대하여, ${\displaystyle A=\pi _{X}(C_{Y})}$가 되는 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi ))_{n-1}^{1))$ 집합 ${\displaystyle C_{Y}\subset X\times Y}$가 존재한다.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta ))_{n}^{1))$ 집합은 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{n}^{1))$ 집합이며 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi ))_{n}^{1))$ 집합인 집합이다.

폴란드 공간 ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$에 대하여, 사영 집합은 적어도 하나의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{n}^{1))$ 집합인 부분 집합이다.

수슬린 정리(Суслин定理, 영어: Souslin’s theorem)에 따르면, 폴란드 공간 속에서 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta ))_{1}^{1))$ 집합의 개념은 보렐 집합의 개념과 일치한다.^{[1]:88, Theorem 14.11}

임의의 두 폴란드 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의, 보렐 가측 공간 구조의 동형 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$ 아래 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{1}^{1}(X)}$와 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{1}^{1}(Y)}$가 일치하며, 사영 위계의 나머지 단계들의 정의는 위상 공간 구조에 직접적으로 의존하지 않으므로 마찬가지로 일치한다. 즉, 사영 위계는 오직 표준 보렐 가측 공간 구조에만 의존한다.

임의의 폴란드 공간에 대하여, 다음이 성립한다.^{[1]:314, Proposition 37.1}

집합족	가산 교집합에 대해 닫힘	가산 합집합에 대해 닫힘	여집합에 대해 닫힘	연속 상에 대해 닫힘	연속 원상에 대해 닫힘
${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta ))_{n}^{1))$	⭕	⭕	⭕	❌	⭕
${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma ))_{n}^{1))$	⭕	⭕	❌	⭕	⭕
${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi ))_{n}^{1))$	⭕	⭕	❌	❌	⭕

위 표에서, "연속 (원)상에 대해 닫힘"은 정의역과 공역을 폴란드 공간으로 하는 연속 함수에 대한 상 및 원상을 뜻한다.

보렐 위계와 유사하게, 다음과 같은 포함 관계가 성립하며, 이를 사영 위계(영어: projective hierarchy)라고 한다.^{[1]:314, §37.A}

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\boldsymbol {\Sigma ))_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Sigma ))_{2}^{0}&&&\cdots &&&&{\boldsymbol {\Sigma ))_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Sigma ))_{2}^{1}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&&&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\{\boldsymbol {\Delta ))_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta ))_{2}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Delta ))_{3}^{0}&\cdots &\to &{\boldsymbol {\Delta ))_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Delta ))_{2}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Delta ))_{3}^{1}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&&&&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\&&{\boldsymbol {\Pi ))_{1}^{0}&&&&{\boldsymbol {\Pi ))_{2}^{0}&&&\cdots &&&&{\boldsymbol {\Pi ))_{1}^{1}&&&&{\boldsymbol {\Pi ))_{2}^{1}&&&\cdots \end{matrix))}$

여기서 ${\displaystyle A\to B}$는 모든 ${\displaystyle A}$ 집합이 ${\displaystyle B}$ 집합임을 뜻한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

열린집합 → 보렐 집합 → 사영 집합

실수의 모든 사영 집합은 실수 구성 가능 전체 ${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$에 속한다.

만약 사영 결정 공리가 성립한다면, 실수의 모든 사영 집합들은 다음 조건을 만족시킨다.

• 르베그 가측 집합이다.
• 준열린집합이다.
• 완전 집합 성질을 가진다.

• “Projective set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.