G
=
Z
/
8
{\displaystyle G=\mathbb {Z} /8}
H
=
{
0
,
4
}
≅
Z
/
2
{\displaystyle H=\{0,4\}\cong \mathbb {Z} /2}
군론 에서 잉여류 (剩餘類, 영어 : coset 코셋[* ] )는 주어진 부분군 에 의하여 결정되는 동치 관계 의 동치류 이다.
G
{\displaystyle G}
군 이고,
H
≤
G
{\displaystyle H\leq G}
부분군 이며,
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
G
{\displaystyle G}
g
{\displaystyle g}
H
{\displaystyle H}
왼쪽 잉여류 (영어 : left coset )는 다음과 같다.
g
H
=
{
g
h
:
h
∈
H
}
{\displaystyle gH=\{gh\colon h\in H\))
마찬가지로,
g
{\displaystyle g}
H
{\displaystyle H}
오른쪽 잉여류 (영어 : right coset )는 다음과 같다.
H
g
=
{
h
g
:
h
∈
H
}
{\displaystyle Hg=\{hg\colon h\in H\))
(아벨 군 의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를
g
+
H
{\displaystyle g+H}
H
+
g
{\displaystyle H+g}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
G
/
H
{\displaystyle G/H}
H
{\displaystyle H}
정규 부분군 일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군
G
/
H
{\displaystyle G/H}
크기 는
|
G
:
H
|
{\displaystyle |G:H|}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
지표 (指標, 영어 : index )라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.
G
{\displaystyle G}
위상군 이라고 하자. 그렇다면, 왼쪽 잉여류 집합
G
/
H
{\displaystyle G/H}
몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간 (영어 : coset space )이라고 한다. 이는 동차공간 을 이룬다.
군
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
동치 이다.
모든
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
H
=
H
g
{\displaystyle gH=Hg}
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
정규 부분군 이다.라그랑주 정리 에 따르면, 만약
G
{\displaystyle G}
유한군 이라면, 부분군
H
≤
G
{\displaystyle H\leq G}
|
G
:
H
|
=
|
G
|
/
|
H
|
{\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}
만약 일련의 부분군들
K
≤
H
≤
G
{\displaystyle K\leq H\leq G}
|
G
:
K
|
=
|
G
:
H
|
|
H
:
K
|
{\displaystyle |G:K|=|G:H||H:K|}
이다. 여기서 우변은 기수 의 곱셈이다.
지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군 이다. 보다 일반적으로, 유한군
G
{\displaystyle G}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
|
G
|
{\displaystyle |G|}
소인수 라면, 지표가
p
{\displaystyle p}
정규 부분군 이다.
우선, 군
G
{\displaystyle G}
N
≤
G
{\displaystyle N\leq G}
|
G
:
N
|
=
2
{\displaystyle |G:N|=2}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
N
=
N
g
=
{
N
g
∈
N
G
∖
N
g
∉
N
{\displaystyle gN=Ng={\begin{cases}N&g\in N\\G\setminus N&g\not \in N\end{cases))}
이다. 즉,
N
{\displaystyle N}
G
{\displaystyle G}
유한군
G
{\displaystyle G}
p
{\displaystyle p}
N
≤
G
{\displaystyle N\leq G}
p
{\displaystyle p}
|
G
|
{\displaystyle |G|}
|
G
|
/
|
N
|
=
p
{\displaystyle |G|/|N|=p}
N
{\displaystyle N}
g
∈
G
∖
N
{\displaystyle g\in G\setminus N}
g
N
g
−
1
=
N
{\displaystyle gNg^{-1}=N}
H
=
g
N
g
−
1
∩
N
≤
N
{\displaystyle H=gNg^{-1}\cap N\leq N}
이라고 하자. 그렇다면
|
N
|
/
|
H
|
=
1
{\displaystyle |N|/|H|=1}
|
g
N
g
−
1
N
|
=
|
N
|
2
/
|
H
|
≤
|
G
|
{\displaystyle |gNg^{-1}N|=|N|^{2}/|H|\leq |G|}
이므로
|
N
|
/
|
H
|
≤
|
G
|
/
|
N
|
=
p
{\displaystyle |N|/|H|\leq |G|/|N|=p}
이다.
p
{\displaystyle p}
|
G
|
{\displaystyle |G|}
|
N
|
/
|
H
|
=
1
{\displaystyle |N|/|H|=1}
|
N
|
/
|
H
|
=
p
{\displaystyle |N|/|H|=p}
|
N
|
/
|
H
|
=
p
{\displaystyle |N|/|H|=p}
|
g
N
g
−
1
N
|
=
p
|
N
|
=
|
G
|
{\displaystyle |gNg^{-1}N|=p|N|=|G|}
이므로
G
=
g
N
g
−
1
N
{\displaystyle G=gNg^{-1}N}
g
=
g
n
g
−
1
n
′
{\displaystyle g=gng^{-1}n'}
인
n
,
n
′
∈
N
{\displaystyle n,n'\in N}
g
−
1
=
n
−
1
n
′
−
1
∈
N
{\displaystyle g^{-1}=n^{-1}{n'}^{-1}\in N}
이므로
g
∈
G
∖
N
{\displaystyle g\in G\setminus N}
정규핵 을 사용하여 증명할 수도 있다.)
정수의 덧셈군
G
=
Z
{\displaystyle G=\mathbb {Z} }
n
{\displaystyle n}
H
=
n
Z
{\displaystyle H=n\mathbb {Z} }
을 생각하자. 그렇다면,
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
k
+
H
=
H
+
k
=
{
x
∈
Z
:
x
≡
k
(
mod
n
)
}
⊆
G
{\displaystyle k+H=H+k=\{x\in \mathbb {Z} \colon x\equiv k{\pmod {n))\}\subseteq G}
는
k
{\displaystyle k}
합동 인 정수들의 집합이다. 이 경우
H
{\displaystyle H}
정규 부분군 이므로, 잉여류 공간
G
/
H
=
Cyc
(
n
)
{\displaystyle G/H=\operatorname {Cyc} (n)}
몫군 을 이루며, 이는 크기
n
{\displaystyle n}
순환군 이다.
