수학에서 번분수(繁分數, 영어: complex fraction, compound fraction)는 분수의 분자 또는 분모 또는 둘 다가 분수인 경우를 뜻한다.^{[1]:65[2][3][4][5]} 모든 번분수는 일반적인 꼴의 분수로 고쳐 쓸 수 있다. 이는 추상적인 관점에서 분수체의 분수체는 자기 자신이기 때문이다.

분자와 분모가 분수인 번분수

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b))\,}{\dfrac {c}{d))))$

는 분자와 분모가 정수인 분수의 꼴로 단순화할 수 있으며, 결과의 분자와 분모는 각각 비례식 ${\displaystyle a:b=c:d}$의 내항 및 외항과 같다. 한 가지 방법은 가장 바깥 쪽의 분수를 나눗셈 기호로 생각하여 두 분수의 몫을 계산하는 것이다.^{[1]:78[2][4][5]}

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b))\,}{\dfrac {c}{d))}={\frac {a}{b))\div {\frac {c}{d))={\frac {ad}{bc))}$

또 한 가지 방법은 분수의 분자와 분모에 동시에 같은 0이 아닌 수를 곱하면 분수의 값이 변하지 않는다는 성질을 사용한다.^[4] 분수의 분자와 분모가 정수가 되기 위해서는 분자의 분모의 배수이자 분모의 분모의 배수인 수를 곱해야 하며, 특히 이 둘의 곱을 곱하는수로 삼을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b))\,}{\dfrac {c}{d))}={\frac ((\dfrac {a}{b))\times bd}((\dfrac {c}{d))\times bd))={\frac {ad}{bc))}$

번분수의 분자나 분모 역시 번분수일 수 있다.^[4] 유한 연분수는 번분수의 특수한 경우이다.^[4] 유한 연분수 ${\displaystyle [a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}$는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle [a_{0};]=a_{0))$

${\displaystyle [a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]=a_{0}+{\frac {1}{[a_{1};a_{2},\cdots ,a_{n}]))}$

예를 들어 다음과 같은 번분수는 연분수이다. 가장 안쪽의 번분수부터 차례대로 정리하여 일반적인 분수 꼴이 되게 할 수 있다.

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2+{\dfrac {1}{3+{\dfrac {1}{4))))))=1+{\frac {1}{2+{\dfrac {1}{\dfrac {13}{4))))}=1+{\frac {1}{2+{\dfrac {4}{13))))=1+{\frac {1}{\dfrac {30}{13))}=1+{\frac {13}{30))={\frac {43}{30))}$

무한 연분수 ${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ]}$는 이를 확장한 개념이며, 다음과 같이 극한으로 정의된다.

${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},\cdots ,a_{n}]}$

예를 들어, ${\displaystyle 1=a_{0}=a_{1}=a_{2}=\cdots }$를 취하면, 황금비의 연분수 표현을 얻는다. 이는 (1, 1, 1, ...)을 유한 연분수의 정의에 대입한 뒤 극한을 취하면, 이 무한 연분수가 방정식 ${\displaystyle x=1+{\frac {1}{x))}$의 양의 실수 해임을 알 수 있기 때문이다.

• 분수 (수학)
• 나눗셈