범주론에서 밂(영어: pushout 푸시아웃^[*])은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, 쌍대곱의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 올쌍대곱(영어: fibered coproduct)이라고 불린다.

어떤 범주에서 대상 ${\displaystyle X,Y,Z}$ 및 사상

${\displaystyle X{\xleftarrow {f))Z{\xrightarrow {g))Y}$

이 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 밂 ${\displaystyle X\sqcup _{Z}Y}$는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 ${\displaystyle P}$ 및 사상 ${\displaystyle p_{1},p_{2))$이다.

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f))&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle p_{1}\\Y&{\xrightarrow[{p_{2))]{))&P\end{matrix))}$

이는 범주론적 쌍대극한을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 ${\displaystyle Q}$ 및 사상 ${\displaystyle q_{1}\colon Q\to X}$, ${\displaystyle q_{2}\colon Q\to Y}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle q_{1}\circ f=q_{2}\circ g}$라면 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 ${\displaystyle u\colon P\to Q}$가 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&{\xrightarrow {f))&X\\{\scriptstyle g}\downarrow &&\downarrow &\searrow \\Y&\to &P&&{}^{q_{1))\\&\searrow &&\searrow ^{\exists !u}&\downarrow \\&&{}_{q_{2))&\to &Q\end{matrix))}$

만약 ${\displaystyle X=Y}$이며 ${\displaystyle f=g}$일 경우, ${\displaystyle X{\xleftarrow {f))Z{\xrightarrow {f))X}$의 밂은 쌍대핵쌍(雙對核雙,영어: cokernel pair)이라고 한다.

(유한) 쌍대곱과 쌍대동등자가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 쌍대곱

${\displaystyle X{\xrightarrow {\iota _{X))}X\sqcup Y{\xleftarrow {\iota _{Y))}Y}$

이 주어졌을 때,

${\displaystyle X{\xleftarrow {f))Z{\xrightarrow {g))Y}$

의 밂은

${\displaystyle Z{\xrightarrow[{\iota _{Y}\circ g}]{\iota _{X}\circ f))X\sqcup Y}$

의 쌍대동등자이다. 반대로, 밂과 쌍대곱이 존재하는 범주에서는 쌍대동등자가 존재한다.

만약 ${\displaystyle Z}$가 끝 대상일 경우, ${\displaystyle X\times _{Z}Y\cong X\times Y}$이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

밂은 당김의 반대 개념이다. 즉, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C))}$에서의 밂은 그 반대 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C))^{\operatorname {op} ))$에서의 당김이며, 반대로 ${\displaystyle {\mathcal {C))}$에서의 당김은 ${\displaystyle {\mathcal {C))^{\operatorname {op} ))$에서의 밂이다.

집합과 함수의 범주에서,

${\displaystyle X{\xleftarrow {f))Z{\xrightarrow {g))Y}$

의 밂은 다음과 같은 몫집합이다.

${\displaystyle X\sqcup _{Z}Y=(X\sqcup Y)/{\sim ))$

${\displaystyle x\sim y\iff \exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))}$

대수 구조 다양체로 정의되는 범주의 경우는 완비 범주이자 쌍대완비 범주이므로, 밂이 항상 존재한다. 이 경우, 두 대수 구조

${\displaystyle X{\xleftarrow {f))Z{\xrightarrow {g))Y}$

의 밂은 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 쌍대곱에서, ${\displaystyle Z}$의 원소의 상들을 합치는 최소의 합동 관계에 대한 몫대수이다.

예를 들어, 군의 범주에서 밂은 융합된 자유곱라고 불린다.

위상 공간의 범주에서,

${\displaystyle X{\xleftarrow {f))Z{\xrightarrow {g))Y}$

의 밂은 분리합집합 ${\displaystyle X\sqcup Y}$의 다음과 같은 몫공간이다.

${\displaystyle X\sqcup _{Z}Y=(X\sqcup Y)/{\sim ))$

${\displaystyle x\sim y\iff \exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))}$

특수한 경우로, 만약 ${\displaystyle Z}$가 한원소 공간일 경우 이는 쐐기합이라고 불린다.

• 쌍대곱
• 당김 (범주론)

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

• “Fibre product of objects in a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Pushout”. 《nLab》 (영어). 
• “Cokernel pair”. 《nLab》 (영어).