복소해석학에서 리우빌 정리(영어: Liouville's theorem)는 복소 평면 위의 유계 정칙 함수가 상수 함수라는 정리다.

리우빌 정리에 따르면, 복소 평면 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 상수 함수이다.
• ${\displaystyle f}$는 (복소 평면 전체에서) 유계 정칙 함수이다.

리우빌 정리는 테일러 급수 전개를 사용해 간단히 증명할 수 있다. 즉, 유계 함수의 경우, 테일러 급수의 계수가 (상수항을 제외하고) 모두 0이어야 한다는 것을 보이면 된다.

상수 함수가 유계 정칙 함수인 것은 자명하다. 반대로, 유계 정칙 함수 ${\displaystyle f}$가 주어졌다고 하자. 이는 테일러 급수로

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k))$

로 나타낼 수 있다. 그렇다면 임의의 양의 실수 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+))$에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

${\displaystyle |a_{k}|=\left|{\frac {1}{2\pi i))\int _{|\zeta |=r}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1))}\,d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi ))\int _{|\zeta |=r}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1))}\,|d\zeta |\leq {\frac {\sup _{\mathbb {C} }f}{r^{k))))$

${\displaystyle r}$는 임의의 양의 실수이므로,

${\displaystyle |a_{k}|\leq \lim _{r\rightarrow \infty }{\frac {\sup _{\mathbb {C} }f}{r^{k))}=0\qquad (k>0)}$

이다. 즉,

${\displaystyle a_{k}=0\qquad (k>0)}$

이며, ${\displaystyle f}$는 상수 함수이다.

리우빌 정리를 사용해 대수학의 기본 정리를 쉽게 증명할 수 있다. ${\displaystyle p\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$가 상수가 아닌 다항식이며, 근을 갖지 않는다고 하자. ${\displaystyle n}$차 다항식의 경우, 충분히 큰 ${\displaystyle |z|}$에 대하여

${\displaystyle {\frac {1}{2))|z|^{n}<|p(z)|}$

이므로,

${\displaystyle |p(z)|>|p(0)|\quad \forall |z|>r}$

인 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{+))$를 찾을 수 있다. ${\displaystyle p}$는 근을 갖지 않으므로, ${\displaystyle 1/p}$는 복소 평면 위의 유계 정칙 함수이다. 따라서, 리우빌 정리에 의하여 ${\displaystyle p}$는 상수 함수가 되는데, 이는 가정과 모순된다.

리우빌 정리에 따라서, 극점이 없는 타원 함수는 상수 함수이다. 극점이 없는, 주기가 ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$인 타원 함수는 콤팩트 집합 ${\displaystyle \{s_{1}\omega _{1}+s_{2}\omega _{2}|s_{1},s_{2}\in [0,1]\))$ 위에서 최댓값을 가져 유계 함수이므로, 리우빌 정리가 적용된다.

정칙 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$의 상 ${\displaystyle f(\mathbb {C} )\subset \mathbb {C} }$은 하나의 점만을 포함하거나, 아니면 ${\displaystyle \mathbb {C} }$의 조밀 집합이다. 이 역시 리우빌 정리로부터 쉽게 증명할 수 있다. 만약 정칙 함수 ${\displaystyle f}$에 대하여, 모든 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$에 대하여 항상 ${\displaystyle |f(z)-w_{0}|>r}$라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{f(z)-w_{0))))$

는 복소 평면 위의 유계 정칙 함수이므로, ${\displaystyle f}$는 상수 함수이다.

피카르의 소정리는 서로 다른 둘 이상의 복소수를 함숫값으로 갖지 않는 모든 전해석 함수는 상수라는 내용이다. 즉 모든 복소수 ${\displaystyle z}$에 대해 ${\displaystyle f(z)\neq a}$, ${\displaystyle f(z)\neq b}$인 서로 다른 두 복소수 ${\displaystyle a,b}$가 존재하면 ${\displaystyle f}$는 반드시 상수이어야 한다. 이 정리는 리우빌 정리를 함의한다.

리우빌 정리는 1844년에 오귀스탱 루이 코시가 최초로 증명하였다.^[1][2]

1847년에 조제프 리우빌이 극점이 없는 타원 함수가 상수 함수임을 증명하였다.^[3] 이는 오늘날 "리우빌 정리"라고 일컬어지는 결과의 따름정리다.

• 미타그레플레르 정리

• Greene, Robert E.; Steven G. Krantz. 《Function theory of one complex variable》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 40 3판. ISBN 978-0-8218-3962-1. MR 2215872. Zbl 1114.30001.  더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말) CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Liouville's boundedness theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.