레비치비타 기호 (Levi-Civita symbol) 또는 치환 텐서 (permutation tensor)는 선형대수학 과 미분기하학 에서 정의된 기호로 수의 치환과 관련해 값을 주는 기호이다. 이 기호는 이탈리아 수학자 툴리오 레비치비타 를 따라 이름지어졌다.
레비치비타 기호의 모습 레비치비타 기호
ε
i
j
k
{\displaystyle \varepsilon _{ijk))
는 다음과 같이 정의된다.
ε
i
j
k
=
{
+
1
if
(
i
,
j
,
k
)
is
(
1
,
2
,
3
)
,
(
2
,
3
,
1
)
or
(
3
,
1
,
2
)
−
1
if
(
i
,
j
,
k
)
is
(
3
,
2
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)
or
(
2
,
1
,
3
)
0
otherwise:
i
=
j
or
j
=
k
or
k
=
i
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{if ))(i,j,k){\mbox{ is ))(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ or ))(3,1,2)\\-1&{\mbox{if ))(i,j,k){\mbox{ is ))(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ or ))(2,1,3)\\0&{\mbox{otherwise: ))i=j{\mbox{ or ))j=k{\mbox{ or ))k=i\end{cases))}
정의에서 보다시피 레비치비타 기호는 완전 반대칭 이다.
레비치비타 기호는 크로네커 델타와 많은 관계가 있다. 3차원에서는 다음과 같은 관계들이 있다.
ε
i
j
k
ε
l
m
n
=
det
|
δ
i
l
δ
i
m
δ
i
n
δ
j
l
δ
j
m
δ
j
n
δ
k
l
δ
k
m
δ
k
n
|
=
δ
i
l
(
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
)
−
δ
i
m
(
δ
j
l
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
l
)
+
δ
i
n
(
δ
j
l
δ
k
m
−
δ
j
m
δ
k
l
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&=\det {\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix))\\&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\end{aligned))}
∑
i
=
1
3
ε
i
j
k
ε
i
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km))
("축약된 입실론 성질")
(아인슈타인 표기법 을 사용하면 :
ε
i
j
k
ε
i
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km))
)
∑
i
,
j
=
1
3
ε
i
j
k
ε
i
j
n
=
2
δ
k
n
{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn))
레비치비타 기호는 수학과 물리학의 다양한 분야에서 사용된다. 예를 들어, 선형대수학 에서 두 3차원 벡터 의 벡터곱 은 이 기호를 사용해 다음과 같이 쓸 수 있다.
a
×
b
=
|
e
1
e
2
e
3
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
=
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ε
i
j
k
e
i
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1)) &\mathbf {e_{2)) &\mathbf {e_{3)) \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix))=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i)) a_{j}b_{k))
혹은, 더 간단히 쓰면:
a
×
b
=
c
,
c
i
=
∑
j
,
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k))
위 표기는 아인슈타인 표기법 을 사용하면 훨씬 더 간단해진다
c
i
=
ε
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\;}
레비치비타 기호는 다음과 같이 고차원으로 일반화 될 수 있다.
ε
i
j
k
l
…
=
{
+
1
if
(
i
,
j
,
k
,
l
,
…
)
is an even permutation of
(
1
,
2
,
3
,
4
,
…
)
−
1
if
(
i
,
j
,
k
,
l
,
…
)
is an odd permutation of
(
1
,
2
,
3
,
4
,
…
)
0
if any two labels are the same
{\displaystyle \varepsilon _{ijkl\dots }={\begin{cases}+1&{\mbox{if ))(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ is an even permutation of ))(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{if ))(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ is an odd permutation of ))(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{if any two labels are the same))\end{cases))}