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그로텐디크-리만-로흐 정리 .
알렉산더 그로텐디크 가 그로텐디크-리만-로흐 정리에 대한 노트에 그린 낙서대수기하학 에서 그로텐디크-리만-로흐 정리 (定理, 영어 : Grothendieck–Riemann–Roch theorem )는 히르체브루흐-리만-로흐 정리 의 상대적인 일반화이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
체
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
위의 두 개의 준사영(영어 : quasiprojective ) 매끄러운 스킴
X
→
Spec
K
{\displaystyle X\to \operatorname {Spec} K}
및
Y
→
Spec
K
{\displaystyle Y\to \operatorname {Spec} K}
K
{\displaystyle K}
-스킴의 고유 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
.이 위에 다음과 같은 구조들을 정의하자.
X
{\displaystyle X}
또는
Y
{\displaystyle Y}
위의 저우 환
A
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {A} (X)}
,
A
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {A} (Y)}
. 여기에 유리수 계수를 취하여
A
(
X
)
⊗
Z
Q
{\displaystyle \operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }
를 정의할 수 있다.
저우 환 사이의 밂 사상
f
∗
:
A
(
X
)
→
A
(
Y
)
{\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {A} (X)\to \operatorname {A} (Y)}
. 이는 귀진 사상 의 일종이며, 올에 대한 적분 에 해당한다. 유리수 계수의 경우에도 마찬가지로 귀진 사상
f
∗
:
A
(
X
)
⊗
Z
Q
→
A
(
Y
)
⊗
Z
Q
{\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \operatorname {A} (Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }
가 존재한다.
토드 특성류
Td
(
X
)
∈
A
(
X
)
⊗
Q
{\displaystyle \operatorname {Td} (X)\in \operatorname {A} (X)\otimes \mathbb {Q} }
,
Td
(
Y
)
∈
A
(
Y
)
⊗
Q
{\displaystyle \operatorname {Td} (Y)\in \operatorname {A} (Y)\otimes \mathbb {Q} }
. 이는
X
{\displaystyle X}
의 접다발 의 천 특성류
c
(
X
)
∈
A
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {c} (X)\in \operatorname {A} (X)}
의 성분들의 유리수 계수 선형 결합 이다.
천 지표
ch
:
K
0
(
X
)
→
A
(
X
)
⊗
Z
Q
{\displaystyle \operatorname {ch} \colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }
. (천 특성류 는 정수 계수 저우 환에 정의되지만, 천 지표를 정의하려면 유리수가 필요하다.)
X
{\displaystyle X}
또는
Y
{\displaystyle Y}
위의 연접층 들의 범주
Coh
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}
,
Coh
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Coh} (Y)}
X
{\displaystyle X}
위의 연접층의
f
{\displaystyle f}
에 대한 상
f
∗
:
Coh
(
X
)
→
Coh
(
Y
)
{\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)}
. 이는 왼쪽 완전 함자 이다.
X
{\displaystyle X}
위의 연접층의
f
{\displaystyle f}
에 대한 상
f
∗
:
Coh
(
X
)
→
Coh
(
Y
)
{\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)}
의 오른쪽 유도 함자
R
∙
f
∗
:
Coh
(
X
)
→
Coh
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)}
.
X
{\displaystyle X}
위의 연접층들의 그로텐디크 군
K
0
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {K} _{0}(X)}
. 이는 K이론 에서 0차 K군이다.
그로텐디크 군에서도 연접층의 상(의 유도 함자)를 정의할 수 있다. 즉,
R
∙
f
∗
:
K
0
(
X
)
→
K
0
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }f_{*}\colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {K} _{0}(Y)}
.
그로텐디크 군에서는 부호를 붙인 직합
f
!
=
⨁
i
=
0
∞
(
−
1
)
i
R
i
f
i
:
K
0
(
X
)
→
K
0
(
Y
)
{\displaystyle f_{!}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {R} ^{i}f_{i}\colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {K} _{0}(Y)}
를 정의할 수 있다. 정리하자면, 다음과 같은 사상이 존재한다.
K
0
(
X
)
→
ch
A
(
X
)
⊗
Z
Q
→
.
Td
(
X
)
A
(
X
)
⊗
Z
Q
f
!
↓
↓
f
∗
↓
f
∗
K
0
(
Y
)
→
ch
A
(
Y
)
⊗
Z
Q
→
.
Td
(
Y
)
A
(
Y
)
⊗
Z
Q
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {K} _{0}(X)&{\xrightarrow {\operatorname {ch} ))&\operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} &{\xrightarrow {.\operatorname {Td} (X)))&\operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \\{\scriptstyle f_{!))\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle f_{*))&&\downarrow {\scriptstyle f_{*))\\\operatorname {K} _{0}(Y)&{\xrightarrow[{\operatorname {ch} }]{))&\operatorname {A} (Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} &{\xrightarrow[{.\operatorname {Td} (Y)}]{))&\operatorname {A} (Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \end{matrix))}
그렇다면, 이 그림이 가환하는지 여부를 물을 수 있다. 일반적으로 왼쪽 정사각형은 가환하지 않지만, 큰 직사각형 전체는 가환 그림을 이룬다. 이를 그로텐디크-리만-로흐 정리 라고 한다. 이를 기호로 쓰면 다음과 같다.
ch
(
f
!
(
−
)
)
.
Td
(
Y
)
=
f
∗
(
ch
(
−
)
.
Td
(
X
)
)
{\displaystyle \operatorname {ch} (f_{!}(-)).\operatorname {Td} (Y)=f_{*}(\operatorname {ch} (-).\operatorname {Td} (X))}
알렉산더 그로텐디크 가 1956년 경 장피에르 세르 에게 보낸 편지에서 증명하였다. 그로텐디크는 1957년에 이 정리에 대하여 강의하였으나 출판하지 않았다. 장피에르 세르 와 아르망 보렐 은 그로텐디크의 증명을 정리하여 1958년에 출판하였다.[ 1]
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