측도론에서, 가측 공간(可測空間, 영어: measurable space)은 가측 집합(可測集合, 영어: measurable set)이라는 특별한 부분 집합들의 족이 부여된 집합이다. 가측 집합들은 가산 합집합 · 가산 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 측도론에서는 모든 집합들에 적절한 측도를 부여하는 것이 불가능하므로 흔히 사용되는 특정 집합들을 골라야 하며, 가측 공간의 개념은 이러한 선택을 공리화하여 얻는다. 두 가측 공간 사이의 자연스러운 사상은 가측 함수라고 한다.

임의의 집합 ${\displaystyle X}$에 대하여, 그 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P))(X)}$는 완비 불 대수이며, 특히 시그마 대수이다.

가측 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle X}$는 집합이다.
• ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P))(X)}$는 시그마 대수 ${\displaystyle {\mathcal {P))(X)}$의 부분 시그마 대수이다. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
  • (여집합에 대한 닫힘) 모든 ${\displaystyle S\in \Sigma }$에 대하여, ${\displaystyle X\setminus S\in \Sigma }$이다.
  • (가산 합집합에 대한 닫힘) 가산 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S))\subseteq \Sigma }$ (${\displaystyle |{\mathcal {S))|\leq \aleph _{0))$)에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathcal {S))\in \Sigma }$이다. (특히, 만약 ${\displaystyle {\mathcal {S))=\varnothing }$일 경우 ${\displaystyle \textstyle \bigcup \varnothing =\varnothing \in \Sigma }$이다.)

${\displaystyle \Sigma }$의 원소를 ${\displaystyle X}$의 가측 집합이라고 한다.

가측 공간들과 가측 함수들은 구체적 범주 ${\displaystyle \operatorname {Measble} }$를 이룬다.

가측 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$가 다음 조건을 만족시킨다면 분리 가측 공간(分離可測空間, 영어: separated measurable space)이라고 한다.

• ${\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P))(\Sigma )}$, ${\displaystyle f\colon x\mapsto \{S\in \Sigma \colon x\in S\))$는 단사 함수이다. 즉, 임의의 두 점 ${\displaystyle x,y\in X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle x\neq y}$라면, ${\displaystyle x\in S\not \ni y}$인 ${\displaystyle S\in \Sigma }$가 존재한다.

임의의 가측 공간 ${\displaystyle X}$에서, 공집합 ${\displaystyle \varnothing }$과 전체 집합 ${\displaystyle X}$은 항상 가측 집합이다.

집합 ${\displaystyle X}$ 위의 1개 이상의 (유한 또는 무한 개의) 임의의 가측 공간 구조들 ${\displaystyle \{\Sigma _{i}\))$이 주어졌을 때, 그 교집합

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\Sigma _{i))$

역시 ${\displaystyle X}$ 위의 가측 공간 구조이다.^{[1]:Exercise 1.4.13} (그러나 이는 합집합에 대하여 성립하지 않는다.)

따라서, 임의의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {F))\subseteq {\mathcal {P))(X)}$에 대해, ${\displaystyle {\mathcal {F))}$의 원소들을 가측 집합으로 하는 가장 엉성한 가측 공간 구조가 존재한다.^{[1]:Definition 1.4.14} 구체적으로, 이는 ${\displaystyle {\mathcal {F))}$를 포함하는 가측 공간 구조들의 교집합이다. 이를 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F)))}$로 표기하자.

따라서, 주어진 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 가측 공간 구조들의 족은 완비 격자를 이룬다.

가측 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$의 가측 집합의 수는 항상 ${\displaystyle 2^{n))$ 꼴의 양의 정수이거나, 아니면 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0))}$ 이상이다. 특히, 가측 공간은 가산 무한 개의 가측 집합을 가질 수 없다.^[2]

집합 ${\displaystyle X}$의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {A))\subseteq {\mathcal {P))(X)}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {A))}$로부터 생성되는 가측 공간 구조 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A)))}$의 크기의 상계는 다음과 같다.^{[1]:Exercise 1.4.16}

${\displaystyle |\sigma ({\mathcal {A)))|\leq |{\mathcal {A))|^{\aleph _{0))}$

이는 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A)))}$를 초한 귀납법으로 구성할 때 ${\displaystyle \omega _{1))$번의 단계로 끝나기 때문이다. (여기서 ${\displaystyle \omega _{1))$은 최소의 비가산 순서수이다.)

집합 ${\displaystyle X}$ 속의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {A))\subseteq {\mathcal {P))(X)}$에 대하여 다음 조건들을 정의하자.

• (π) ${\displaystyle {\mathcal {A))}$는 2항 교집합에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A))}$에 대하여, ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {A))}$이다. 이를 만족시키는 집합족을 π계(영어: π-system)라고 한다.
• (λ) ${\displaystyle {\mathcal {A))}$는 여집합에 대하여 닫혀 있으며, 가산 개의 서로소 집합들의 합집합에 대하여 닫혀 있다. (특히, 0개의 서로소 집합들의 합집합은 공집합이므로, ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {A))}$이다.) 이를 만족시키는 집합족을 λ계(영어: λ-system)라고 한다.
• (π′) ${\displaystyle {\mathcal {P))(X)}$의 부분 불 대수를 이룬다. 즉, 여집합 · 유한 교집합 · 유한 합집합에 대하여 닫혀 있으며, ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {A))}$이다. 이를 만족시키는 집합족을 집합체(영어: field of sets)라고 한다.
• (λ′) ${\displaystyle X\in {\mathcal {A))}$이며, 임의의 ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots \in {\mathcal {A))}$에 대하여, ${\displaystyle A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq \cdots }$라면, ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A))}$이며, 임의의 ${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots \in {\mathcal {A))}$에 대하여, ${\displaystyle A_{0}\supseteq {\mathcal {A))_{1}\supseteq \cdots }$라면, ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {A))}$이다. 이를 만족시키는 집합족을 단조류(영어: monotone class)라고 한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

집합 ${\displaystyle X}$ 속의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {A))\subseteq {\mathcal {P))(X)}$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 시그마 대수이다.
• (π) 조건과 (λ) 조건을 만족시킨다.
• (π′) 조건과 (λ′) 조건을 만족시킨다.

집합 ${\displaystyle X}$ 속의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {A))\subseteq {\mathcal {P))(X)}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (딘킨 π-λ 정리 영어: Dynkin π–λ theorem) ${\displaystyle {\mathcal {A))}$가 (π) 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle {\mathcal {A))}$로부터 생성되는, (λ) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.^{[3]:42, §1.3, Theorem 3.3}
• (단조류 정리 영어: monotone class theorem) ${\displaystyle {\mathcal {A))}$가 (π′) 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle {\mathcal {A))}$로부터 생성되는, (λ′) 조건을 만족시키는 최소의 집합족은 시그마 대수이다.^{[3]:43, §1.3, Theorem 3.4}

가측 집합과 가측 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Measble} }$은 구체적 범주

${\displaystyle F\colon \operatorname {Measble} \to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle F\colon (X,\Sigma )\mapsto X}$

를 이루며, ${\displaystyle F}$는 위상 함자이다. 따라서, ${\displaystyle \operatorname {Measble} }$은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다.

${\displaystyle \operatorname {Measble} }$의 시작 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 공집합이며, ${\displaystyle \operatorname {Measble} }$의 끝 대상은 (유일한 가측 공간 구조를 갖춘) 한원소 집합이다.

${\displaystyle X}$를 임의의 집합이라고 할 때, 다음은 모두 ${\displaystyle X}$ 위의 가측 공간 구조이다.

• 양의 정수가 아닌 임의의 기수 ${\displaystyle \kappa }$에 대하여, ${\displaystyle \left\{S\subseteq X|\min\{|S|,|X\setminus S|\}\leq \kappa \right\))$는 시그마 대수를 이룬다. 즉, 이는 ${\displaystyle X}$의 부분집합 가운데 크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 이하이거나 그 여집합의 크기가 ${\displaystyle \kappa }$ 이하인 집합들의 족이다.
  • 만약 ${\displaystyle \kappa =0}$이라면, 이는 ${\displaystyle \{\varnothing ,X\))$이다. 이 집합족은 자명 가측 공간 구조이며, ${\displaystyle X}$ 위의 가장 엉성한 가측 공간 구조이다.
  • 만약 ${\displaystyle \kappa \geq |X|}$라면, 이는 ${\displaystyle X}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P))(X)}$이다. 이를 이산 가측 공간이라고 하며, 이는 ${\displaystyle X}$ 위의 가장 섬세한 가측 공간 구조이다.
• ${\displaystyle X}$의 분할 ${\displaystyle \textstyle X=\bigsqcup _{A\in {\mathcal {P))}A}$이 주어진다면, ${\displaystyle \{\textstyle \bigcup {\mathcal {Q))|{\mathcal {Q))\subseteq {\mathcal {P))\))$는 ${\displaystyle X}$ 위의 가측 공간 구조를 이룬다.

유한 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 모든 가측 공간 구조는 ${\displaystyle X}$의 분할로서 정의된다. 즉, 유한 집합 위의 가측 공간 구조들은 그 분할과 일대일 대응하며, 크기가 ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$인 유한 집합 위의 가측 공간 구조의 수는 벨 수

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (OEIS의 수열 A000110)

이다.

예를 들어, 크기가 3인 유한 집합 ${\displaystyle \{a,b,c\))$ 위의 분할과 가측 공간 구조들은 다음과 같다.

위상 공간 위의 보렐 집합들의 집합은 시그마 대수를 이루며, 이를 보렐 시그마 대수 ${\displaystyle \operatorname {Borel} (X)}$라고 한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle (X,\operatorname {Borel} (X))}$는 분리 가측 공간이다.
• ${\displaystyle X}$는 콜모고로프 공간이다.

유한 집합 위의 모든 가측 공간 구조는 적절한 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 있다. 그러나 무한 집합의 경우 임의의 위상의 보렐 시그마 대상으로 나타낼 수 없는 가측 공간 구조 또한 존재한다.^[4][5] 구체적으로, ${\displaystyle S}$가 크기 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0))}$의 비가산 집합이라고 하자. 크기 2의 이산 공간 ${\displaystyle \{0,1\))$의 비가산 곱공간 ${\displaystyle \{0,1\}^{S))$을 생각하자. 이 곱위상은 기저

${\displaystyle {\mathcal {B))=\left\{\prod _{s\in S}U_{s}\colon U_{s}\subseteq \{0,1\}\forall s\in S,\;|\{s\in S\colon U_{r}\neq \{0,1\}\}|<\aleph _{0}\right\))$

로 생성된다. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {B))}$로 생성되는 가측 공간 구조는 ${\displaystyle \{0,1\}^{S))$ 위의 임의의 위상의 보렐 시그마 대수로 나타낼 수 없다.

• “Algebra of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Measurable set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Measurable space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sigma-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Measurable space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Measurable set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Sigma-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Measurable space”. 《nLab》 (영어). 
• “Measurable subset”. 《nLab》 (영어). 
• Tao, Terry. “245A, Notes 3: Integration on abstract measure spaces, and the convergence theorems”. 《What’s New》 (영어). 
• “Is every sigma-algebra the Borel algebra of a topology?” (영어). Math Overflow.