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거듭제곱.
거듭제곱
수학에서 거듭제곱(영어: exponentiation) 또는 승멱(乘冪) 또는 멱(冪)은 같은 수를 주어진 횟수만큼 여러 번 곱하는이항 연산이다. 여러 번 곱하는 수를 밑(영어: base)이라고 하고, 곱하는 횟수를 지수(指數, 문화어: 어깨수, 영어: exponent, power)라고 한다. 밑이 , 지수가 인 거듭제곱을 의 제곱이라고 하고, 그 기호는 이다. 때로는 거듭제곱의 밑을 기저로 부르기도 한다.
지수가 유리수인 거듭제곱을 거듭제곱근을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 및 양의 정수 에 대하여 를 정의하자. 이를 위해 방정식 의 근을 생각하자. 자명하게, 가 0일 경우 복소수 범위에서의 근이 뿐이며, 그 중복도는 이다. 가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 개 존재한다. 이 홀수일 경우나, 이 짝수이며 가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 반수인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을 라 정의한다. 이 짝수이며 가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로, 를 정의하지 않는다.
이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를
라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.
즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근을 취한 결과이다. 분모 이 홀수일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 에 대하여 정의된다. 짝수일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다. 물론 모든 정수는 유리수이므로 정수 제곱의 앞선 두 정의가 일치하는지 검증하여야 하며, 이는 쉽게 검증된다.
다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉, 은 단지 방정식의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식 의 모든 복소근을 찾는 다가 함수로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수 밑 에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다.
거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수
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