members.dirtgame.net
គេមានអនុគមន៍ f(x) ដែលជាប់នៅចន្លោះ [a, b], គេចែកចន្លោះ[a, b] ជា n ផ្នែកស្មើៗគ្នាតាមលំដាប់ x0 (=a), x1 , x2 , ..., xn (=b) និង តាង
b
−
a
n
=△
x
{\displaystyle {\frac {b-a}{n))=\bigtriangleup x}
នោះគេបាន
∫
−
a
b
f
(
x
)
d
x
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
0
n
−
1
f
(
x
k
)
△
x
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
f
(
x
k
)
△
x
{\displaystyle \int _{-a}^{b}f(x)\,dx\,\!=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\bigtriangleup x=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\bigtriangleup x}
∫
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx\,\!=0}
ប្រសិនបើ b < a នោះគេបាន
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx}
រូបមន្ត Newton-Leibnitz[ កែប្រែ ] គេអោយអនុគមន៍ f(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b] និង F(x) ជាព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍ f(x)។ គេបាន
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
[
F
(
x
)
]
a
b
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=[F(x)]{_{a}^{b))=F(b)-F(a)\!}
លក្ខណៈនៃអាំងតេក្រាលកំនត់[ កែប្រែ ]
គ្រប់ចំនួនពិត C គេបាន
∫
a
b
C
f
(
x
)
d
x
=
C
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}Cf(x)\,dx\,\!=C\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx}
∫
a
b
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
±
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}{(f(x)\pm g(x))}\,dx\,\!=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\pm \int _{a}^{b}g(x)\,dx}
ប្រសិនបើ f(x) ≤ g(x) នៅចន្លោះ [a, b] គេបាន
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
u
)
d
u
=
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=\int _{a}^{b}f(u)\,du=\int _{a}^{b}f(t)\,dt}
f(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ នោះគេបាន
d
d
x
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx))\int _{a}^{x}f(t)\,dt\,\!=f(x)}
គេអោយ u=u(x) និង v=v(x) ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើចន្លោះ [a, b] នោះគេបាន
∫
a
b
u
d
v
=
[
u
.
v
]
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,dv\,\!=[u.v]{_{a}^{b))-\int _{a}^{b}v\,du}
∫
a
b
f
(
x
)
.
g
′
(
x
)
d
x
=
[
f
(
x
)
.
g
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
f
′
(
x
)
.
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x).g'(x)\,dx\,\!=[f(x).g(x)]{_{a}^{b))-\int _{a}^{b}f'(x).g(x)\,dx}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
[
x
.
f
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
x
.
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,\!=[x.f(x)]{_{a}^{b))-\int _{a}^{b}x.f'(x)\,dx}
វិធីសាស្ត្រគណនាអាំងតេក្រាលកំនត់មួយចំនួន[ កែប្រែ ] ក) គណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង
I
=
∫
a
b
U
(
x
)
U
(
x
)
+
V
(
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}I=\int _{a}^{b}{\frac {U(x)}{\ {U(x)+V(x)))}\,dx}
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង
J
=
∫
a
b
V
(
x
)
U
(
x
)
+
V
(
x
)
d
x
{\displaystyle \color {Red}J=\int _{a}^{b}{\frac {V(x)}{\ {U(x)+V(x)))}\,dx}
គេបាន I + J = b - a និង I - J = ...? រួចគណនា I ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធ
{
I
+
J
=
b
−
a
I
−
J
=
.
.
.
?
{\displaystyle {\begin{cases}I+J=b-a\\I-J=...?\end{cases))}
សំគាល់ : គេប្រើវិធីសាស្រ្តនេះគណនាអាំងតេក្រាលដែលមានរាង
I
=
∫
a
b
U
(
s
i
n
x
)
U
(
s
i
n
x
)
+
U
(
c
o
s
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}I=\int _{a}^{b}{\frac {U(sinx)}{\ {U(sinx)+U(cosx)))}\,dx}
និង
J
=
∫
a
b
U
(
c
o
s
x
)
U
(
s
i
n
x
)
+
U
(
c
o
s
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}J=\int _{a}^{b}{\frac {U(cosx)}{\ {U(sinx)+U(cosx)))}\,dx}
ដែល
a
+
b
=
π
2
{\displaystyle a+b={\frac {\pi }{2))}
រឺ
I
=
∫
a
b
U
(
t
a
n
x
)
U
(
t
a
n
x
)
+
U
(
c
o
t
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}I=\int _{a}^{b}{\frac {U(tanx)}{\ {U(tanx)+U(cotx)))}\,dx}
និង
J
=
∫
a
b
U
(
c
o
t
x
)
U
(
t
a
n
x
)
+
U
(
c
o
t
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}J=\int _{a}^{b}{\frac {U(cotx)}{\ {U(tanx)+U(cotx)))}\,dx}
ដែល
a
+
b
=
π
2
{\displaystyle a+b={\frac {\pi }{2))}
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង
t
=
π
2
−
x
{\displaystyle t={\frac {\pi }{2))-x}
រួចគណនា I, J ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
{
I
+
J
=
b
−
a
I
=
J
{\displaystyle {\begin{cases}I+J=b-a\\I=J\end{cases))}
ខ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [-a, a] ។ គេតាង
I
=
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \color {Red}I=\int _{-a}^{a}f(x)\,dx}
បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍គូលើ [-a, a] នោះគេបាន
I
=
2
∫
0
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}
បង្ហាញថាបើ f ជាអនុគមន៍សេសលើ [-a, a] នោះគេបាន I = 0 -វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន
I
=
∫
−
a
0
f
(
x
)
d
x
+
∫
0
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}I=\int _{-a}^{0}f(x)\,dx+\int _{0}^{a}f(x)\,dx}
ចំពោះ
∫
−
a
0
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}\int _{-a}^{0}f(x)\,dx}
គេតាង
t
=
−
x
{\displaystyle t=-x}
គ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់លើ [a, b] ។ គេបាន
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
a
+
b
−
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(a+b-x)\,dx}
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង
t
=
a
+
b
−
x
{\displaystyle t=a+b-x}
សំគាល់ : គេច្រើនប្រើវិធីសាស្រ្តនេះដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ដែល:
a
+
b
=
π
{\displaystyle a+b=\pi }
រឺ
a
+
b
=
π
2
{\displaystyle a+b={\frac {\pi }{2))}
រឺ
a
+
b
=
π
4
{\displaystyle a+b={\frac {\pi }{4))}
ឃ) គេអោយ f ជាអនុគមន៍ជាប់ និងជាអនុគមន៍ខួបមានខួប T ។ បង្ហាញថា
∫
a
a
+
T
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
−
T
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \color {blue}\int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{a-T}^{a}f(x)\,dx}
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = x - T ង) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់ ។ បង្ហាញថា:
∫
a
2
a
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
a
[
f
(
x
)
+
f
(
2
a
−
x
)
]
d
x
{\displaystyle \color {blue}\int _{a}^{2a}f(x)\,dx=\int _{0}^{a}[f(x)+f(2a-x)]\,dx}
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន
∫
a
2
a
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
a
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
2
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{2a}f(x)\,dx=\int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{2a}f(x)\,dx}
ចំពោះ
∫
a
2
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{2a}f(x)\,dx}
គេតាង t = 2a - x
ច) គេអោយ f ជាអនុគមន៍កំនត់និងជាប់ ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌ f(a+b-x) = f(x)ដែល a, b ជាចំនួនគេស្គាល់ជាមុន។ បង្ហាញថា
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
=
a
+
b
2
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx={\frac {a+b}{2))\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេតាង t = a + b -x ឆ) គេអោយ b ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង f ជាអនុគមន៍ជាប់និងជាអនុគមន៍គូលើ[-a, a] ។ បង្ហាញថា
∫
−
a
a
f
(
x
)
b
x
+
1
d
x
=
∫
0
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{b^{x}+1))\,dx=\int _{0}^{a}f(x)\,dx}
-វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយ: គេមាន
∫
−
a
a
f
(
x
)
b
x
+
1
d
x
=
∫
−
a
0
f
(
x
)
b
x
+
1
d
x
+
∫
0
a
f
(
x
)
b
x
+
1
d
x
{\displaystyle \int _{-a}^{a}{\frac {f(x)}{b^{x}+1))\,dx=\int _{-a}^{0}{\frac {f(x)}{b^{x}+1))\,dx+\int _{0}^{a}{\frac {f(x)}{b^{x}+1))\,dx}
ចំពោះ
∫
−
a
0
f
(
x
)
b
x
+
1
d
x
{\displaystyle \int _{-a}^{0}{\frac {f(x)}{b^{x}+1))\,dx}
គេតាង t = -x
អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន[ កែប្រែ ]
គេមាន n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន
∫
0
π
2
s
i
n
n
x
d
x
=
∫
0
π
2
c
o
s
n
x
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2))sin^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))cos^{n}x\,dx}
ក). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ នោះគេបាន
∫
0
π
2
s
i
n
n
x
d
x
=
n
−
1
n
.
n
−
3
n
−
2
.
.
.
.
.
.
.
3
4
.
1
2
.
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2))sin^{n}x\,dx={\frac {n-1}{n)).{\frac {n-3}{n-2)).......{\frac {3}{4)).{\frac {1}{2)).{\frac {\pi }{2))}
ខ). ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស នោះគេបាន
∫
0
π
2
s
i
n
n
x
d
x
=
n
−
1
n
.
n
−
3
n
−
2
.
.
.
.
.
.
.
2
3
.1
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2))sin^{n}x\,dx={\frac {n-1}{n)).{\frac {n-3}{n-2)).......{\frac {2}{3)).1}
សំរាយបញ្ជាក់
1. តាង
x
=
π
2
−
t
,
d
x
d
t
=
−
1
{\displaystyle x={\frac {\pi }{2))-t,\quad {\frac {dx}{dt))=-1}
នោះគេបាន
t
=
π
2
{\displaystyle t={\frac {\pi }{2))}
នៅពេល
x
=
0
{\displaystyle x=0\,}
និង
t
=
0
{\displaystyle t=0\,}
នៅពេល
x
=
π
2
{\displaystyle x={\frac {\pi }{2))}
∴
∫
0
π
2
sin
n
d
x
=
∫
π
2
0
sin
n
(
π
2
−
t
)
(
−
1
)
d
t
=
∫
0
π
2
sin
n
(
π
2
−
t
)
d
t
=
∫
0
π
2
cos
n
t
d
t
=
∫
0
π
2
cos
n
x
d
x
{\displaystyle \therefore \int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin ^{n}dx=\int _{\frac {\pi }{2))^{0}\sin ^{n}({\frac {\pi }{2))-t)(-1)dt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin ^{n}({\frac {\pi }{2))-t)dt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\cos ^{n}tdt=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\cos ^{n}xdx}
2. តាង
I
n
=
∫
0
π
2
sin
n
x
d
x
{\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin ^{n}xdx\quad }
ចំពោះ
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2\quad }
គេបាន
I
n
=
∫
0
π
2
sin
n
−
1
x
(
−
cos
x
)
′
d
x
=
[
sin
n
−
1
x
(
−
cos
x
)
]
0
π
2
+
(
n
−
1
)
∫
0
π
2
sin
n
−
2
x
⋅
cos
2
x
d
x
=
(
n
−
1
)
∫
0
π
2
sin
n
−
2
x
(
1
−
sin
2
x
)
d
x
=
(
n
−
1
)
I
n
−
2
−
(
n
−
1
)
I
n
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin ^{n-1}x(-\cos x)'dx=[\sin ^{n-1}x(-\cos x)]_{0}^{\frac {\pi }{2))+(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin ^{n-2}x\cdot \cos ^{2}xdx\\&=(n-1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin ^{n-2}x(1-\sin ^{2}x)dx=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\end{aligned))}
∴
n
I
n
=
(
n
−
1
)
I
n
−
2
⇒
I
n
=
n
−
1
n
⋅
I
n
−
2
⊛
{\displaystyle \therefore nI_{n}=(n-1)I_{n-2}\qquad \Rightarrow I_{n}={\frac {n-1}{n))\cdot I_{n-2}\qquad \circledast }
គេបាន
I
1
=
∫
0
π
2
sin
x
d
x
=
−
[
cos
x
]
0
π
2
=
1
,
I
0
=
∫
0
π
2
d
x
=
π
2
{\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin xdx=-[\cos x]_{0}^{\frac {\pi }{2))=1,\quad I_{0}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))dx={\frac {\pi }{2))}
ដូចនេះគេបាន
⊛
{\displaystyle \circledast \qquad }
កំនត់ដោយ
ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគូ គេបាន
I
n
=
n
−
1
n
⋅
n
−
3
n
−
2
⋯
⋯
3
4
⋅
1
2
⋅
π
2
{\displaystyle I_{n}={\frac {n-1}{n))\cdot {\frac {n-3}{n-2))\cdots \cdots {\frac {3}{4))\cdot {\frac {1}{2))\cdot {\frac {\pi }{2))}
ប្រសិនបើ n ជាចំនួនសេស គេបាន
I
n
=
n
−
1
n
⋅
n
−
3
n
−
2
⋯
⋯
2
3
⋅
1
{\displaystyle I_{n}={\frac {n-1}{n))\cdot {\frac {n-3}{n-2))\cdots \cdots {\frac {2}{3))\cdot 1}
ឧទាហរណ៍៖
∫
0
π
2
sin
5
x
d
x
=
4
5
⋅
2
3
=
8
15
,
∫
0
π
2
cos
4
x
d
x
=
∫
0
π
2
sin
4
x
d
x
=
3
4
⋅
1
2
⋅
π
2
=
3
16
π
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin ^{5}xdx={\frac {4}{5))\cdot {\frac {2}{3))={\frac {8}{15)),\qquad \int _{0}^{\frac {\pi }{2))\cos ^{4}xdx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))\sin ^{4}xdx={\frac {3}{4))\cdot {\frac {1}{2))\cdot {\frac {\pi }{2))={\frac {3}{16))\pi }