部分集合（ぶぶんしゅうごう、英: subset）とは数学における概念の一つ。集合Aが集合Bの部分集合であるとは、AがBの一部の要素だけからなることである。AがBの一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。

集合 A の要素はすべて集合 B の要素でもあるとき、すなわち、

${\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in B)}$

が成り立つとき、A は B の部分集合であるといい、

${\displaystyle A\subseteq B}$

で表す^[1]。A が B の部分集合であることを、「A は B に（部分集合として）含まれる（包含される、英: contained）」、「A は B に包まれる（包摂あるいは内包される、英: included）」などということもある。またこのとき、B は A の上位集合（英: superset）であるということもある。B 以外の集合で B の部分集合であるようなものは、B の真部分集合（英: proper subset）あるいは狭義（強い意味で）の部分集合（英: strict subset）と呼ばれる。すなわち、集合 A が集合 B の真部分集合であるとは、A ⊆ B かつ A ≠ B が成り立つことである。A が B の真部分集合であることを

${\displaystyle A\subset B}$

で表す。

A が B の部分集合であることを A ⊆ B で表し、A が B の真部分集合であることを A ⊂ B で表した。大小関係の不等式において不等号を

x ≤ y かつ x ≠ y のとき x < y と書く

とする記法に合わせて、包含関係においても

A ⊆ B かつ A ≠ B のとき A ⊂ B と書く

とする記法は自然である。しかし、これとは異なる流儀もいくつか存在し、統一されていない。例えば、A が B の部分集合であることを A ⊂ B で表し、A が B の真部分集合であることを A ⊊ B で表すという流儀がある。他にも、部分集合には ⊆ を用い、真部分集合には ⊂ かつ ≠ を用いることもある。真部分集合であることを明示できる ⊊ という記号を用意する時もある。真部分集合であることに言及する箇所が少なく煩雑にならなければ、混乱をさけるために逐一

A ⊆ B かつ A ≠ B

A ⊂ B かつ A ≠ B

のように「かつ A ≠ B 」という条件を明記する場合もある。

以下、S, T, U を集合とする。

• S = T と S ⊆ T かつ T ⊆ S は同値である（外延性の原理）。
• 空集合 ∅ はすべての集合の部分集合である。
• S ⊆ S 。
• S ⊆ T かつ T ⊆ U ならば S ⊆ U である。
• S ⊆ S ∪ T 。
• S ⊆ T ならば S ∪ U ⊆ T ∪ U 。
• S ⊆ U かつ T ⊆ U ならば S ∪ T ⊆ U 。
• S ∩ T ⊆ S 。
• S ⊆ T ならば S ∩ U ⊆ T ∩ U 。
• S ⊆ T かつ S ⊆ U ならば S ⊆ T ∩ U 。
• S - T ⊆ S 。
• S ⊆ T ならば S - U ⊆ T - U 。
• S ⊆ T かつ S ⊆ U ^C ならば S ⊆ T - U 。
• 以下は同値である：
  • S ⊆ T 。
  • S ∩ T = S 。
  • S ∪ T = T 。
  • S − T = ∅ 。
• S と T がともに U の部分集合のとき、S ⊆ T と U - T ⊆ V - S は同値である。

• Devlin, K. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory. Undergraduate Texts in Mathematics (Second ed.). Springer. ISBN 0-387-94094-4 

• 集合
• 集合論
• 集合の代数学
• 冪集合 - 集合Bの全ての部分集合からなる集合族（${\displaystyle 2^{B}=\{A|A\subseteq B\))$）

表 話 編 歴 集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
濃度	有限集合 空集合 単集合 遺伝的 可算集合 非可算集合 連続体濃度 始順序数 共終数 基数 正則 到達不能 巨大 一覧 ベルンシュタインの定理 カントールの対角線論法 カントールの定理 連続体仮説
公理化	素朴集合論 ラッセルのパラドックス 公理的集合論 ツェルメロ＝フレンケル集合論 フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 モース-ケリー集合論 新基礎集合論 外延性の公理 空集合の公理 分出公理 対の公理 和集合の公理 冪集合公理 置換公理 無限公理 正則性公理 選択公理 可算 従属
研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
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