古典力学
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運動の第2法則
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歴史(英語版)
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運動エネルギー(、英: kinetic energy)は、物体の運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、「運動」を意味するギリシア語の κίνησις(kinesis)に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。
ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。
つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は
で与えられる[注 1]。
ニュートンの運動方程式が
と表されているとき、この力 F が時刻 t0 から t1 の間に為す仕事
は、
となる。
従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。
特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が
から
まで、
だけ変化したとき、
![{\displaystyle {\frac {1}{2))mv^{2}(t_{1})-{\frac {1}{2))mv^{2}(t_{0})={\boldsymbol {F))\cdot \Delta {\boldsymbol {x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cfe894c1344267711f60c84e67bb292d66f886)
という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。
また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。
![{\displaystyle v^{2}(t_{1})-v^{2}(t_{0})=2{\boldsymbol {\alpha ))\cdot \Delta {\boldsymbol {x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ea70fc4a5e132ea788ea4feebf0ea6fb6a8687)
同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、角速度 ω の2乗と慣性モーメント I に比例する。
![{\displaystyle K={\frac {1}{2))I\omega ^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/496a58d4581f5a818db4d6eb881a93e98529ec21)
ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。
![{\displaystyle L(q,{\dot {q));t)=K({\dot {q)))-V(q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c96c77ab18e67c55cddf27474876140e8679cf)
この際、ラグランジアンの変数は一般化座標
とその時間微分
、及び時刻
である。
多くの場合、一般化座標として位置
や 回転角
とするので、運動エネルギーは
![{\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2))m_{i}{v_{i))^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2))I_{i}{\omega _{j))^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f83342a694f8d25cb93c236058e5dc865ae68f)
となる。
ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、
![{\displaystyle H(q,p;t)=\sum p{\dot {q))-L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ba93f170b6b7b3c87231337bd42edb77e28b48)
として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標
と一般化運動量
である。元のラグランジアンでポテンシャルが
に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、
![{\displaystyle p_{i}(t)={\frac {\partial L}{\partial v_{i))}=m_{i}v_{i))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34df262fb7e5fd76b0f8098bf2da5674557ea7a)
![{\displaystyle l_{j}(t)={\frac {\partial L}{\partial \omega _{j))}=I_{j}\omega _{j))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6ac05c2fb9c31dc20d3d65820ab487eaa48761)
( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは
![{\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i))}{p_{i))^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2I_{j))}{l_{j))^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14e89d98266ac5304a9f8fa239166a5ae597b39)
となる。
- ^ v は速度 v の大きさを表す。