数学あるいは物理学においてドット積（ドットせき、英: dot product）あるいは点乗積（てんじょうせき）とは、ベクトル演算の一種で、2つの同じ長さの数列から一つの数値を返す演算。代数的および幾何的に定義されている。幾何的定義では、（デカルト座標の入った）ユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ において標準的に定義される内積のことである。

2つのベクトル a = [a₁, a₂, ..., a_n] と b = [b₁, b₂, ..., b_n] のドット積は下記のように定義される^[1]。

${\displaystyle {\boldsymbol {a))\cdot {\boldsymbol {b))=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n))$

n 次元実ユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ の幾何学的ベクトル（有向線分から位置の概念を取り除いたもの）a, b に対して、a · b を

${\displaystyle {\boldsymbol {a))\cdot {\boldsymbol {b))=\|{\boldsymbol {a))\|\|{\boldsymbol {b))\|\cos \theta }$

と定めるとこれは一つの実数を定める。ただし θ はベクトルを有向線分と見なしたときに a, b の成す角であり、‖ · ‖ はベクトルの大きさ（対応する有向線分の長さ）である。これはすなわち、有向線分 b を a 方向へ正射影したものの大きさと a の大きさとの積である。これを ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ におけるドット積あるいは標準内積という。

また一方で、ベクトルを a = [a_x, a_y, a_z], b = [b_x, b_y, b_z] のように成分表示した場合、（第二）余弦定理を用いることで

${\displaystyle {\boldsymbol {a))\cdot {\boldsymbol {b))=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z))$

が成り立つことが示される。ゆえにこちらを定義とすることもある。

ベクトルの自分自身とのドット積の（正の）平方根

${\displaystyle \|{\boldsymbol {a))\|:={\sqrt ((\boldsymbol {a))\cdot {\boldsymbol {a))))}$

をベクトルのノルムという。具体的にベクトルを a = [a_x, a_y, a_z] と成分表示してやれば

${\displaystyle \|{\boldsymbol {a))\|={\sqrt {a_{x}{}^{2}+a_{y}{}^{2}+a_{z}{}^{2))))$

と書くことができる。これはベクトル a の "大きさ" である。

ドット積とノルムを使えば、2つのベクトル a = [a_x, a_y, a_z], b = [b_x, b_y, b_z] のなす角は

${\displaystyle \cos \theta ={\frac ((\boldsymbol {a))\cdot {\boldsymbol {b))}{\|{\boldsymbol {a))\|\|{\boldsymbol {b))\|))={\frac {a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z)){\sqrt {\left(a_{x}{}^{2}+a_{y}{}^{2}+a_{z}{}^{2}\right)\left(b_{x}{}^{2}+b_{y}{}^{2}+b_{z}{}^{2}\right)))))$

から求めることが可能である。逆にベクトルのなす角をこの式で定義すれば、その角はベクトルを有向線分と見なした場合のそれらの成す角そのものと一致する。

したがってドット積は（ノルムを通して）、通常のユークリッド空間における長さ、角度に一致する計量を矛盾なく定めるものである。つまり、${\displaystyle \mathbb {R} ^{3))$ でユークリッドの幾何学を考えることと、ドット積を定めることとが等価であることがわかる。

ドット積について

1. a · a ≥ 0,
2. a · a = 0 となることと a の成分がすべて零であることとが同値である。
3. a · b = b · a,
4. 任意の実数 k, l に対し、(ka₁ + la₂) · b = k(a₁ · b) + l(a₂ · b)

なる性質が満たされる。ゆえにドット積は内積の一種であり、ベクトルのノルムはノルムの一種である。

力学において、物体に一定の力 F [N] が作用して、F と角度 θ だけずれた方向に物体が x [m] 移動したとき、なされた仕事は Fx cos θ [N.m] となる。これは力と変位を幾何学的なベクトルと見なした場合のドット積である。

• ベクトル解析
• クロス積

• Weisstein, Eric W. "Dot Product". mathworld.wolfram.com (英語).
• dot product - PlanetMath.（英語）
• Definition:Dot Product at ProofWiki
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Inner product”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Inner_product 

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
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