三角法
概要（英語版） 歴史（英語版） 使用（英語版） 関数 逆 一般三角法（英語版）
Reference
公式 正確な定数（英語版） 表（英語版） 単位円
定理
正弦 余弦 正接 余接 ピタゴラスの定理
微分積分学
三角関数の代入（英語版） 積分 逆関数 微分（英語版）
表 話 編 歴

正弦定理（せいげんていり、英:law of sines）とは三角形の内角の正弦（サイン）とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。

△ABC において、BC = a, CA = b, AB = c, 外接円の半径を R とすると、

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A))={\frac {b}{\sin B))={\frac {c}{\sin C))=2R}$

が成り立つという定理である。これより一辺とその両端の角から他の二辺が分かり、三角測量の基礎となっている定理である。

これは A, B, C に関して対等な表現であるから、その内の1つだけを取り出した

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A))=2R}$ あるいは ${\displaystyle {a}=2R{\sin A))$

を正弦定理であると表現することもできる。

以下の証明では角度は弧度法で表している。なお π = 180°である。

0 < ∠A < π/2 のとき

直径 BD を取る。

円周角の定理より ∠A = ∠D である。

△BDC において、BD は直径だから、

${\displaystyle {\text{BD))=2R,\angle {\text{BCD))={\frac {\pi }{2))}$

である。よって、正弦の定義より、

${\displaystyle \sin D={\frac {a}{2R))}$

である。ゆえに

${\displaystyle \sin A=\sin D={\frac {a}{2R))}$

変形すると

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A))=2R}$

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。

∠A = π/2 のとき

BC = a = 2R であり、

${\displaystyle \sin A=\sin {\frac {\pi }{2))=1}$

であるから、

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A))=2R}$

は成り立つ。

π/2 < ∠A < π のとき

直径 BD を取る。

円に内接する四角形の性質から、

${\displaystyle \angle {\text{D))=\pi -\angle {\text{A))}$

である。つまり、

${\displaystyle \sin A=\sin D}$

となる。 BD は直径だから、

${\displaystyle {\text{BD))=2R,\angle {\text{BCD))={\frac {\pi }{2))}$

である。よって、正弦の定義より、

${\displaystyle \sin A=\sin D={\frac {a}{2R))}$

である。変形すると

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A))=2R}$

が得られる。∠B, ∠C についても同様に示される。

以上より正弦定理が成り立つ。

また、逆に正弦定理を仮定すると、「円周角の定理」、「内接四角形の定理」（円に内接する四角形の対角の和は 180°であるという定理）を導くことができる。

球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とすると、

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A))={\frac {\sin b}{\sin B))={\frac {\sin c}{\sin C))}$

が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。

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• 世界大百科事典 第2版『正弦定理』 - コトバンク
• 『正弦定理の意味と6通りの証明・頻出の応用例』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Law of Sines". mathworld.wolfram.com (英語).
• Russell, Robert A. [in 英語]. "Generalized Law of Sines". mathworld.wolfram.com (英語).