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極座標系 （きょくざひょうけい、英 : polar coordinate system ）とは、n 次元ユークリッド空間 R n 動径 r と n − 1 個の偏角 θ 1 , …, θ n −1座標 のことである。点 S(0, 0, x 3 , …,xn ) を除く直交座標系 は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。
2 次元ユークリッド空間 R 2 における極座標は円座標（英 : circular coordinates ）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面（または平面極座標[ 1] r , θ ) = (0, θ ) 即ち、xy 座標での原点 (x , y ) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数 体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式 と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式 を利用して z = reiθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy 平面上で円 を描く。
円座標 (r ,θ ) から直交直線座標 (x ,y ) への変換は
{
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\\end{cases))}
で与えられる。角度座標の範囲を −π < θ ≤ π とする場合の直交直線座標から円座標への変換は
{
r
=
x
2
+
y
2
θ
=
sgn
(
y
)
arccos
(
x
/
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2))}\\\theta =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2))})\\\end{cases))}
で与えられる。ここで sgn は符号関数 である。原点 (x ,y ) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため θ が定まらない。
円座標で (0, 0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円筒座標系 （英 : cylindrical coordinate system ）と言う。円筒座標空間上（rθz 空間上ともいう）で、θ , z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱 を描く。また、円筒座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。
円筒座標 (r ,θ ,z ) から直交直線座標 (x ,y ,z ) への変換は
{
x
=
r
cos
θ
y
=
r
sin
θ
z
=
z
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\z=z\\\end{cases))}
で与えられ、直交直線座標から円筒座標への変換は
{
r
=
x
2
+
y
2
θ
=
sgn
(
y
)
arccos
(
x
/
x
2
+
y
2
)
z
=
z
{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2))}\\\theta =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2))})\\z=z\\\end{cases))}
で与えられる。
球座標による3次元ユークリッド空間内の点の表示 3 次元ユークリッド空間 R 3 における極座標系。球面座標系 （英 : spherical coordinate system ）とも呼ばれる。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ , φ によってなる（図を参照）。球面座標系 において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球 を描く。
球座標から直交直線座標への変換は
{
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
z
=
r
cos
θ
{\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \\\end{cases))}
で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は
{
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
θ
=
arccos
(
z
/
x
2
+
y
2
+
z
2
)
ϕ
=
sgn
(
y
)
arccos
(
x
/
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))}\\\theta =\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))})\\\phi =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2))})\\\end{cases))}
で与えられる。z -軸上 (x ,y ) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。原点においては θ も定まらない。
極座標平面での長方形 は、直交座標に於ける扇形 の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標においては円 の一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r × θ = [0, ∞) × [0, 2π ) に等しい。以上のことは広義二重積分 に於いて有用である。なぜなら上記から、
∫
−
∞
∞
d
x
∫
−
∞
∞
d
y
f
(
x
,
y
)
=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
∞
d
r
r
f
(
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dyf(x,y)=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }dr\,rf(r\cos \theta ,r\sin \theta )}
が導けるからである。この公式は、例えばガウス積分 を求めるのに用いられる。
∫
−
∞
∞
d
x
∫
−
∞
∞
d
y
e
−
(
x
2
+
y
2
)
=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
∞
d
r
r
e
−
r
2
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dy\,e^{-(x^{2}+y^{2})}=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }dr\,re^{-r^{2))}
左辺の積分は、このままの状態で解くのは困難だが、右辺の形にすれば、
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
∞
d
r
r
e
−
r
2
=
2
π
×
(
−
1
/
2
)
e
−
r
2
|
0
∞
=
π
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }dr\,re^{-r^{2))=2\pi \times (-1/2)e^{-r^{2)){\Big |}_{0}^{\infty }=\pi }
と解くことができる。
^ 小出昭一郎 『物理入門コース2 解析力学』 1-1〜1-3節、岩波書店 、1983年 
