集合 A と集合 B が与えられたとき、集合 A ∪ B を、A, B いずれかの集合の少なくとも一方に含まれる元 x の全体 (x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A または x ∈ B) として定めて、あるいは同じことだが
として定義される集合を、集合 A, B の和集合と呼ぶ。また特に、A と B が交わりを持たないときの和集合 A ∪ B を A と B の(集合論的)直和(ちょくわ、 [set theoric] direct sum)あるいは非交和(ひこうわ、disjoint union)と呼び、"A ∪ B (disjoint)" や、明示的に記号を違えて
実数からなる半開区間の族 M = { (0, 1 − 1/n] | n は 0 でない自然数 } とすると集合族 M の和集合は開区間 (0, 1) である:
実際、0 < x < 1 なる x に対して、x = 1 − ε となるような正の実数 ε が存在するが、ここで 1 / ε < n となる自然数 n は必ず存在して、この n に対して x は半開区間 (0, 1 − 1 / n] に属する。一方、1 ≤ x となる x は M のどの半開区間にも属さないので、和集合にも属さない。
実数の全区間(数直線)R = (−∞, ∞) は長さが 1 の半開区間の族 { (m, m + 1] | m は整数 } の直和に分割できる。つまり
^文献によっては和集合と合併ということばを使い分けることがあるが、そのような使い分けはあまり一般的でない[1]。また、齋藤 (2002, p. 5) によれば、普通の数学者は合併集合を好み、集合論の専門家は和集合を好むようであるが、中島 (2012, p. 69) によれば、和集合が一般的に使われている。
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