証明 — 実数体上二次元の単位的多元環を A とし、実数体上の基底 {1, u} をとれば、適当な実数 a, b を用いて

${\displaystyle u^{2}=a+bu}$

となる。平方完成を施して

${\displaystyle {\tilde {u))^{2}=a+{\frac {b^{2)){4))\quad \left({\tilde {u)):=u-{\tfrac {b}{2))\right)}$

と書くことができるから、右辺が実数値であることに注意すれば、その値に従って以下の三分律が成り立つ：

• 4a = −b² のとき、従って ũ² = 0。このとき、ũ ↦ ε は A と二重数環との同型を与える。
• 4a > −b² のとき、正の実数 c := √a + b²⁄4 が取れて、v := 1/cũ は v² = +1 を満たす。このとき、v ↦ j は A と分解型複素数環との同型である。
• 4a < −b² のとき、正の実数 d := √b²⁄4 − a が取れて、w = 1/dũ は w² = −1。このとき、A と複素数体との同型は w ↦ i によって定まる。