数学において集合族の共通部分（きょうつうぶぶん、英: intersection）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。共通集合（きょうつうしゅうごう）、共通分^[1]（きょうつうぶん）、交叉（こうさ、交差）、交わり（まじわり、meet）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）^[2]などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。

集合 A, B の交わりは A ∩ B と記される^[5]。これは

x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A かつ x ∈ B

ということであり、記号では

A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }

と書ける。A ∩ B に含まれるような元が存在するとき A と B とは互いに交わるあるいは交わりを持つといい、そのような元の存在しないとき A と B は互いに素であるまたは交わりを持たない (disjoint) という。

有限個の集合 M₁, … M_k の交わり

${\displaystyle M_{1}\cap M_{2}\cap \cdots \cap M_{k))$

は、そのすべてに共通に含まれる元の全体である。集合の交わりは結合的、つまり

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

を満たすから、（一般結合法則）により有限個の集合の交わりは

${\displaystyle (\cdots ((M_{1}\cap M_{2})\cap M_{3})\cap \dotsb \cap M_{k})}$

に等しく、また括弧の付け方に依らない。

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{k}M_{n}=M_{1}\cap M_{2}\cap \dotsb \cap M_{k))$

とも表す。

集合の（空でない）族

${\displaystyle {\mathfrak {M))=\{M_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda ))$

に対して、その交わりを集合族に属する全ての集合に属する元、つまり

すべての λ ∈ Λ に対して x ∈ M_λ

となる x の全体であると定義して

${\displaystyle \bigcap {\mathfrak {M)),\quad \bigcap _{M\in {\mathfrak {M))}M,\quad \bigcap _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda ))$

などで表す。特に集合列 {M_n}_n∈N の交わり（可算交叉）の場合には

${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }M_{n}=M_{1}\cap M_{2}\cap M_{3}\cdots =M_{1}\cap (M_{2}\cap (M_{3}\cap \cdots ))}$

のようにも書く^[6]。

与えられた集合族の共通部分が空集合となるとき、つまり全ての集合に共通に含まれる元が一つも存在しないとき、その集合族は交わりを持たない (disjoint) という。また、どの二つの集合を取っても交わらないとき、その集合族は対ごとに交わりを持たない (pairwise disjoint) と言う。disjoint ではないが pairwise disjoint な集合族が存在する。

P = {1, 3, 5, 7, 9} （10 以下の奇数の集合）、Q = {2, 3, 5, 7} （10 以下の素数の集合）とすると、P ∩ Q = {3, 5, 7} である。また、R = {2, 4, 6, 8, 10} （10 以下の偶数の集合）とすると P と R には共通の要素が存在しないから P ∩ R は空集合である。

実数からなる開区間の族 M = {(0, 1 + 1/n) | n は 1 以上の自然数} の共通部分は半開区間 (0, 1] である：

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(0,\,1+{\frac {1}{n))\right)=(0,1].}$

実際、 (0, 1] はどの区間にも含まれるので共通部分に含まれることは直ちに言える。一方、1 < x とするならば x = 1 + ε となる正の実数 ε が取れるが、1 / ε < n なる自然数は必ず存在して、x はそのような n に対する (0, 1 + 1 / n) に属さない。したがって上記の等式が成立する。また、同様の区間族 L = {(0, 1 − 1/n) | n は 1 以上の自然数} は n = 1 に対応する区間が空集合であるので共通部分 ∩ L も空集合、つまり L は交わりを持たない。

上記、任意個数の集合の交叉の定義において、族が空集合 (∅) となる場合を排除したことに注意しなければならない。これは集合族 M の交わりを

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x:\forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A\))$

で定義するために、M が空ならば A ∈ M なる集合は存在しないから「x が満たすべき条件は一体何であるか」という問題を生じるからである。M が空なるときの上記条件は空虚な真の一例であるから、答えは「可能な限りの全ての x」となるべきである。すなわち、空な集合族の交わりは普遍集合（交叉演算の単位元）と定義することになる^[7]。

困ったことに標準的な集合論 (ZFC) には普遍集合が存在しないから、これを部分的に回避するために宇宙と呼ばれる一つの大きな集合 U を固定してその部分集合となる集合のみを考えることがよく行われる。このような条件下での U の部分集合族の交わりは

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x\in U:\forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A\))$

と定義されるべきものであって、ここで M を空にとっても何も問題は生じない。即ち、空な交叉は定義により well-defined であって宇宙全体 U に一致する。そしてそれは U の部分集合全体の上で定義される交叉演算の単位元である。

• 集合の代数学 - 和 / 差 / 積 / 商
• 素集合
• 非交和
• π-系（英語版）: 有限交叉で閉じている集合族
• コンパクト空間: 有限交叉性 (finite intersection property) で特徴付けられる
• 論理積

• Weisstein, Eric W. "Intersection". mathworld.wolfram.com (英語).
• intersection - PlanetMath.（英語）

表 話 編 歴 集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
濃度	有限集合 空集合 単集合 遺伝的 可算集合 非可算集合 連続体濃度 始順序数 共終数 基数 正則 到達不能 巨大 一覧 ベルンシュタインの定理 カントールの対角線論法 カントールの定理 連続体仮説
公理化	素朴集合論 ラッセルのパラドックス 公理的集合論 ツェルメロ＝フレンケル集合論 フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 モース-ケリー集合論 新基礎集合論 外延性の公理 空集合の公理 分出公理 対の公理 和集合の公理 冪集合公理 置換公理 無限公理 正則性公理 選択公理 可算 従属
研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
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