In matematica, in particolare in analisi funzionale, le topologie operatoriali debole e forte sono due topologie operatoriali sull'insieme ${\displaystyle {\mathcal {L))(X,Y)}$ degli operatori limitati tra due spazi di Hilbert ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{X})}$ e ${\displaystyle (Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Y})}$. Come suggerito dal nome, la topologia operatoriale debole è più debole della topologia operatoriale forte.

La topologia operatoriale debole è la topologia più debole su ${\displaystyle {\mathcal {L))(X,Y)}$ tale che il funzionale che manda un operatore limitato ${\displaystyle T\in {\mathcal {L))(X,Y)}$ in ${\displaystyle \ell (Tx)}$ risulti continuo per ogni ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle \ell \in Y^{*))$, dove ${\displaystyle Y^{*))$ denota lo spazio duale ${\displaystyle Y}$. Per il teorema di rappresentazione di Riesz, una base di intorni di un operatore limitato ${\displaystyle T}$ è data dalla famiglia di insiemi

${\displaystyle \{V:X\to Y{\text{ operatore limitato))\mid |\langle V(x)-T(x),y\rangle _{Y}|<\varepsilon \ \forall (x,y)\in S\))$

al variare di ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0))$ e di ${\displaystyle S\subset X\times Y}$ di cardinalità finita.

La topologia operatoriale debole non va confusa con la topologia debole per spazi di Banach su ${\displaystyle {\mathcal {L))(X,Y)}$. Questa infatti è la topologia più debole che rende continui tutti i funzionali lineari limitati su ${\displaystyle {\mathcal {L))(X,Y)}$, non solo quelli della forma ${\displaystyle T\mapsto \ell (Tx)}$.

La topologia operatoriale forte è la topologia più debole su ${\displaystyle {\mathcal {L))(X,Y)}$ tale che il funzionale che manda un operatore limitato ${\displaystyle T:X\to Y}$ in ${\displaystyle Tx}$ risulti continuo per ogni ${\displaystyle x\in X}$. Una base di intorni di un operatore limitato ${\displaystyle T}$ è data dalla famiglia di insiemi

${\displaystyle \{V:X\to Y{\text{ operatore limitato))\mid \|V(x)-T(x)\|_{Y}<\varepsilon \ \forall x\in S\))$

al variare di ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0))$ e di ${\displaystyle S\subset X}$ di cardinalità finita.

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Bounded Operators, in Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

V · D · M Topologia
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