La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.

La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:

${\displaystyle \chi (x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases))}$

È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:

${\displaystyle \chi (x)={\begin{cases}0,&x\in \mathbb {Q} ,\\1,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases))}$

Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come ${\displaystyle 1-\chi }$.

La funzione di Dirichlet è una funzione che non è continua in nessun punto del dominioː poiché sia ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ sia l'insieme dei numeri irrazionali sono densi in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie), e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla poiché l'insieme dei numeri razionali è numerabile, mentre gli irrazionali non lo sono) il risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione ${\displaystyle 1-\chi }$ sull'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ vale ${\displaystyle b-a}$.

Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.

La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:

${\displaystyle \chi (x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\lim _{m\rightarrow \infty }\cos \left(\pi n!x\right)^{2m}\right).}$

La funzione ${\displaystyle 1-\chi }$ presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni ${\displaystyle x}$ razionale, ed un massimo relativo e assoluto improprio per ogni ${\displaystyle x}$ irrazionale.

Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante (detta anche funzione di Thomae) della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:

${\displaystyle \mathrm {X} (x)={\begin{cases}{\frac {1}{q)),&x={\frac {p}{q)),{\mbox{con )){\frac {p}{q)){\mbox{ ridotta ai minimi termini)),\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} .\end{cases))}$

Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo ${\displaystyle \varepsilon }$, la funzione supera ${\displaystyle \varepsilon }$ solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di ${\displaystyle x}$: preso infatti un numero irrazionale ${\displaystyle x_{0))$ e fissato un valore positivo ${\displaystyle \varepsilon }$, esiste sempre un intorno di ${\displaystyle x_{0))$ in cui ${\displaystyle \mathrm {X} (x_{0})<\varepsilon }$; segue quindi che:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0))\mathrm {X} (x)=0.}$

• John Stillwell, Il teorema fondamentale del calcolo, in Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi (a cura di), La Matematica II - Problemi e teoremi, Torino, Einaudi, 2008, ISBN 978-88-06-16425-6.

• Misura di Lebesgue

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di Dirichlet, su MathWorld, Wolfram Research.
• Una discussione sull'integrabilità della funzione di Dirichlet, su vialattea.net.

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