In fisica l'equazione di Smoluchowski, il cui nome è dovuto a Marian von Smoluchowski, è la correzione della seconda legge di Fick con l'aggiunta di un termine di smorzamento che ha origine da una forza ${\displaystyle -\nabla U}$ smorzata da un attrito viscoso con coefficiente ${\displaystyle \zeta }$ tendente a spostare la densità verso regioni a minima energia potenziale ${\displaystyle U}$.^[1]

Sia ${\displaystyle \phi (r,t)}$ una concentrazione, ${\displaystyle D}$ la costante di diffusione, ${\displaystyle \zeta }$ il fattore di spostamento e ${\displaystyle U(r,t)}$ un'energia potenziale. Allora l'equazione di Smoluchowski descrive l'evoluzione temporale della densità secondo l'equazione:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t))=\nabla \cdot (D\nabla \phi )+\zeta ^{-1}\nabla \cdot (\phi \nabla U)=\nabla ^{2}\phi +(\nabla D+\zeta ^{-1}\nabla U)\nabla \phi +\zeta ^{-1}\nabla ^{2}U\phi }$

L'equazione è consistente con il moto di una particella che obbedisce ad un'equazione differenziale stocastica, con termine ${\displaystyle -\zeta ^{-1}\nabla U}$ e diffusività ${\displaystyle D}$.

L'equazione di Smoluchowski è formalmente identica all'equazione di Fokker-Planck, con l'unica differenza nell'interpretazione fisica di ${\displaystyle w}$: una distribuzione di particelle nello spazio nel primo caso, di velocità nel secondo.

Una soluzione all'equazione di Smoluchowski invariante nel tempo è:

${\displaystyle \phi (x)=Ce^{-D^{-1}\zeta ^{-1}U(x)))$

dove ${\displaystyle C}$ è una costante di normalizzazione. Quindi nello stato stazionario si trovano alte concentrazioni in presenza di bassi potenziali, e l'accumulazione è maggiore quando la diffusività ${\displaystyle D}$ o la ${\displaystyle \zeta }$ sono piccole. La distribuzione è formalmente identica alla distribuzione canonica della fisica statistica, e strettamente legata alla distribuzione di Boltzmann.

Nella prima metà del XX secolo diverse equazioni venivano chiamate equazioni di Smoluchowski. In una rassegna,^[2] Chandrasekhar affermava nel 1943 che l'equazione di diffusione con termine di spostamento "viene talvolta chiamata equazione di Smoluchowski"; da allora, è diventato d'uso in letteratura. Vi sono anche l'equazione di coagulazione di Smoluchowski e la relazione di Einstein–Smoluchowski.

• Attrito viscoso
• Seconda legge di Fick

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