Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento.

La somma di tutti i numeri naturali, anche scritta 1 + 2 + 3 + 4 + ... o mediante il simbolo di sommatoria come

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}$

è una serie divergente; la somma dei primi ${\displaystyle n}$ termini della serie può essere trovata con la formula ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2))}$.

Essa può essere utilizzata per ottenere un certo numero di risultati matematicamente interessanti, tali da permettere applicazioni in altri campi quali l'analisi complessa, la teoria quantistica dei campi e la teoria delle stringhe.

La formula si verifica per induzione su ${\displaystyle n}$.

• Base dell'induzione: dobbiamo dimostrare che l'affermazione ${\displaystyle P(n)}$ è vera per ${\displaystyle n=0}$, cioè, sostituendo, che ${\displaystyle 0={\frac {0\cdot 1}{2))}$, e in effetti c'è ben poco da lavorare, si tratta di un calcolo elementare.
• Passo induttivo: dobbiamo mostrare che per ogni ${\displaystyle n}$ vale l'implicazione ${\displaystyle P(n)\Rightarrow P(n+1)}$, cioè, sostituendo:

${\displaystyle 0+1+2+3+4+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2))\quad \Rightarrow \quad 0+1+2+3+4+\ldots +n+(n+1)={\frac {(n+1)((n+1)+1)}{2)).}$

Dunque dobbiamo assumere che sia vero

${\displaystyle P(n)\quad \equiv \quad 0+1+2+3+4+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2)),}$

lavorare su questa uguaglianza e concludere con l'analoga uguaglianza per ${\displaystyle n+1}$, vale a dire:

${\displaystyle P(n+1)\quad \equiv \quad 0+1+2+3+4+\ldots +n+(n+1)={\frac {(n+1)((n+1)+1)}{2)).}$

Potremmo ad esempio aggiungere ${\displaystyle n+1}$ a entrambi i membri dell'uguaglianza ${\displaystyle P(n)}$:

${\displaystyle 0+1+2+3+4+\ldots +n+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2))+(n+1),}$

poi facciamo qualche semplice passaggio algebrico:

${\displaystyle 0+1+2+3+4+\ldots +n+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2))+{\frac {2(n+1)}{2)),}$

${\displaystyle 0+1+2+3+4+\ldots +n+(n+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2)),}$

${\displaystyle 0+1+2+3+4+\ldots +n+(n+1)={\frac {(n+1)((n+1)+1)}{2)),}$

e quest'ultima uguaglianza è esattamente ${\displaystyle P(n+1)}$. Questo conclude la dimostrazione del passo induttivo. Quanto fatto è una verifica e non una dimostrazione in quanto contiene direttamente il risultato, e non mostra invece il processo di ragionamento che ha portato, per via di intuizione, procedimento costruttivo o altro, alla formula chiusa risultato.

La dimostrazione di tale risultato invece può essere effettuata, seguendo il giovane Gauss che per primo la realizzò all'età di sette anni, riscrivendo la somma in modo riflesso e sommando i termini di uguale posto, ossia:

${\displaystyle {\begin{cases}1+2+3+4+\cdots +100=x\\100+99+98+97+\cdots +1=x.\end{cases))}$

Sommando per colonne si ottiene: ${\displaystyle 101+101+101+101+\cdots +101=2x,}$ ossia ${\displaystyle 101\cdot 100=2x,}$ da cui si ricava che ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2))(101\cdot 100).}$

Generalizzando, per un generico numero naturale ${\displaystyle n}$ si ottiene ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2))}$.

La somma dei numeri ${\displaystyle 1+2+\ldots +99+100}$ è:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}k={\frac {100(100+1)}{2))={\frac {10100}{2))=5050.}$

Srinivasa Ramanujan scrisse nel capitolo 8 del suo taccuino^[1] che la somma dei numeri naturali ${\displaystyle 1+2+3+4\ldots =-1/12.}$ Questa conclusione arrivò dopo che ebbe notato che si poteva trasformare la serie ${\displaystyle 1+2+3+4\ldots }$ in 1 − 2 + 3 − 4 + · · · sottraendo 4 al secondo termine, 8 al quarto, 12 al sesto e così via. Il totale sottratto era quindi ${\displaystyle 4+8+12+16\ldots ,}$ ossia quattro volte la serie originale. Quindi, chiamando la serie ${\displaystyle c}$,

${\displaystyle c=1+2+3+4\ldots }$

${\displaystyle 4c=4+8+12+16\ldots }$

${\displaystyle -3c=c-4c=(1+2+3+4\ldots )-(4+8+12+16+\ldots )=1-2+3-4\ldots }$

Quest'ultima serie ${\displaystyle s=}$1 − 2 + 3 − 4 + · · · era già stata calcolata come uguale a 1/4 poiché:

${\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )&+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&+1+(-2+3-4+5+\cdots )&-1+(3-4+5-6+\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&+(-2+3+3-4)&+(3-4-4+5)&+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array))}$

quindi

${\displaystyle -3c=1/4}$

${\displaystyle c=-1/12.}$

Ramanujan scrive una seconda volta a proposito di questa serie in una lettera indirizzata a Godfrey Harold Hardy e datata 27 febbraio 1913.

Ovviamente, trattandosi di una somma che va avanti all'infinito, la "dimostrazione" di Ramanujan non è applicabile nella pratica, poiché in questo caso saremmo prima o poi costretti a fermare la sequenza, ottenendo un risultato positivo. Pertanto, le serie infinite vanno maneggiate prima trovando la funzione generale somma e poi passando al limite all’infinito. Infatti se si manipolano le serie infinite come fossero finite (come nella "soluzione" riportata da Ramanujan), è possibile dimostrare praticamente qualsiasi risultato (si veda sofisma algebrico).

Un'interpretazione migliore dell'uguaglianza (falsa) ${\displaystyle 1+2+3+4\ldots =-1/12}$ si ha considerando la funzione zeta di Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s))}+{\frac {1}{2^{s))}+{\frac {1}{3^{s))}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))},}$

per ogni numero complesso ${\displaystyle s}$ di parte reale ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)}$maggiore di ${\displaystyle 1}$. Utilizzando il prolungamento analitico di tale funzione si può dimostrare che ${\displaystyle \zeta (-1)=-1/12}$ e osservando che ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{-1))}=1+2+3+4\ldots }$, si ottiene l'uguaglianza (falsa) ${\displaystyle 1+2+3+4\ldots =-1/12}$. L'uguaglianza è falsa in quanto la definizione di ${\displaystyle \zeta }$ in forma di serie non è valida in ${\displaystyle -1}$ (e non lo è in generale per tutti i numeri aventi parte reale minore o uguale a 1), cioè non è vero che ${\displaystyle \zeta (-1)=1+2+3+4\ldots }$.

Si può notare che la somma dei primi ${\displaystyle n}$ numeri coincide con le combinazioni di ${\displaystyle n+1}$ elementi di classe 2:

${\displaystyle C_{n+1,2}={n+1 \choose 2}={\frac {(n+1)!}{(n+1-2)!\ 2!))={\frac {(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!}{2(n-1)!))={\frac {n(n+1)}{2))=\sum _{i=1}^{n}i.}$

• (EN) Bruce C. Berndt, Robert A. Rankin e Srinivasa Ramanujan Aiyangar, Ramanujan: letters and commentary, Providence (Rhode Island), American Mathematical Society, 1995, ISBN 0-8218-0287-9.

• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 2 + 4 + 8 + ...
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·
• Euristica

V · D · M Successioni e Serie
Successioni di interi	Base Progressione aritmetica · Progressione geometrica · Progressione armonica · Progressione aritmetica · Numeri quadrati · Numeri cubici · Fattoriale · Potenze di 2 · Potenze di 3 · Potenze di 10 Avanzate Successione completa · Numeri di Fibonacci · Numeri figurati · Numeri ettagonali · Numeri esagonali · Numeri di Lucas · Numeri di Pell · Numeri pentagonali · Numero poligonale · Numero triangolare
Proprietà delle successioni	Successione di Cauchy · Successione monotona · Successione alternata
Proprietà delle serie	Tendenza Serie alternata · Serie convergente · Serie divergente · Serie telescopica Convergenza Convergenza incondizionata · Convergenza assoluta · Convergenza uniforme
Serie esplicite	Convergenti 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ · 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (Riemann zeta) Divergenti 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ · 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ · 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi) · a1 + (a1+d) + ⋯ · 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ · 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (armonica) · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (fattoriale alternata) · 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversi dei primi)
Tipi di serie	Serie di Taylor · Serie di potenze · Serie formale di potenze · Serie di Laurent · Serie di Puiseux · Serie di Dirichlet · Serie trigonometrica · Serie di Fourier · Serie generatrice
Serie Ipergeometrica	Serie ipergeometrica generalizzata · Funzione ipergeometrica di un argomento di matrice · Serie di Lauricella · Serie modulare · Serie ipergeometrica confluente · Serie theta

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica