Hjólferill (cýklóða) er sá ferill sem fastur punktur á hring þræðir þegar hringurinn veltur eftir beinni línu án þess að renna til. Þetta er fræg tegund veltiferils þar sem ferillinn er lausn á vandamáli sem Johann Bernoulli setti fram 1696 er nefnist Brachistochrone vandamálið.

Látum Q vera miðju hjólsins og radíus þess r. Köllum fastan punkt á hjólinu P og látum A vera skurðpunkt hjólsins og línunnar á hverjum tíma. Hornið ${\displaystyle \angle PQA}$ köllum við θ. Hjólferill sem hefst í núllpunkti hnitakerfis, þ.e. með P = (0,0) í upphafi, getum við lýst með eftirfarandi stika:

${\displaystyle x=r(\theta -\sin \theta )\,}$

${\displaystyle y=r(1-\cos \theta )\,}$

θr gefur x-hnit miðju hjólsins og er jafnframt fjarlægðin frá A til (0,0).

Ferillinn er diffranlegur alls staðar nema í broddunum þar sem ferillinn snertir línuna (x-ásinn). Þetta má auðveldlega sjá með því að diffra hvora jöfnuna fyrir sig í punktinum (2πr,0), það gefur núll.

Bogamál ferilsins má finna með því að finna lengdina á fyrstu afleiðu vigurfallsins og heilda hana.

${\displaystyle (1){\binom {r(\theta -sin\theta )}{r(1-cos\theta )))'={\binom {r(1-cos\theta )}{rsin\theta ))}$

${\displaystyle (2)\left\|{\binom {r(1-cos\theta )}{rsin\theta ))\right\|={\sqrt {(r(1-cos\theta ))^{2}+(rsin\theta )^{2))}=2r\left|sin({\frac {\theta }{2)))\right|}$

${\displaystyle (3)\int _{0}^{2\pi }2r\left|sin({\frac {\theta }{2)))\right|d\theta =4r\left[-cos({\frac {\theta }{2)))\right]_{0}^{2\pi }=8r}$

Þegar hjólið veltur einn hring (2π) fer P eftir hjólferil sem er nákvæmlega 8r að lengd (þar sem r er radíus hjólsins).