Seiring dengan meningkatnya orde, polinomial Taylor mendekati fungsi yang dihampirinya. Gambar ini menunjukkan (in black) and hampiran Taylor, polinomial orde 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.Fungsi eksponensial (warna biru), dan jumlahan suku ke n+1 awal deret Taylornya di titik 0 and (warna merah).
Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleksa adalah deret pangkat
yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai
dengan n! melambangkan faktorialn dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x − a)0 dan 0! didefinisikan sebagai 1.
Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.
Fungsi sinus (biru) sangat dekat dengan polinomial Taylor derajat 7 (merah muda) untuk periode penuh yang berpusat pada titik asal.Polinomial Taylor untuk ln(1 + x) hanya memberikan perkiraan yang akurat dalam rentang tersebut −1 < x ≤ 1. Untuk x > 1, Polinomial Taylor dengan derajat yang lebih tinggi memberikan perkiraan yang lebih buruk.Perkiraan Taylor untuk ln(1 + x) (black). Untuk x > 1, perkiraannya berbeda.
Gambar di sebelah kanan adalah perkiraan yang akurat dari sin x sekitar intinya x = 0. Kurva merah muda adalah polinomial derajat tujuh:
Kesalahan dalam perkiraan tersebut tidak lebih dari nilai |x|
99!. Secara khusus, untuk nilai −1 < x < 1, kesalahannya kurang dari 0.000003.
Sebaliknya, ditampilkan juga gambar dari fungsi logaritma natural pada nilai ln(1 + x) dan beberapa polinomial Taylor di sekitar nilai a = 0. Perkiraan tersebut menyatu dengan fungsi dari −1 < x ≤ 1; di luar wilayah tersebut polinomial Taylor derajat yang lebih tinggi berada lebih buruk perkiraan untuk fungsi tersebut. Hal tersebut mirip dengan Fenomena anak tangga.[butuh rujukan]
Masalah yang terjadi saat mendekati fungsi dengan nilai n Pada Polinomial Taylor dari derajat disebut sisa atau residual dan dilambangkan dengan fungsinya Rn(x). Teorema Taylor dapat digunakan untuk mendapatkan batasan ukuran sisanya.
Secara umum, deret Taylor sama sekali tidak perlu menggunakan konvergen. Dan sebenarnya himpunan fungsi dengan deret Taylor konvergen adalah himpunan kecil di ruang Fréchet dari fungsi mulus. Dan bahkan jika deret Taylor memiliki fungsi f konvergen, batasnya secara umum tidak perlu sama dengan nilai fungsinya f (x). Misalnya Fungsi
Secara lebih umum, setiap urutan bilangan real atau kompleks dapat muncul sebagai koefisien dalam deret Taylor dari fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata, konsekuensi dari lemma Borel. Akibatnya, radius konvergensi deret Taylor bisa menjadi nilai nol. Bahkan ada fungsi yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang ditentukan pada garis nyata yang deret Taylor-nya memiliki radius konvergensi 0 di mana-mana.[1]
Namun demikian, ada generalisasi[2][3] dari deret Taylor yang konvergen ke nilai fungsi itu sendiri untuk setiap terikat dari fungsi kontinu pada nilai (0,∞), menggunakan kalkulus beda hingga. Secara khusus, seseorang memiliki teorema berikut, karena Einar Hille, bahwa untuk apa saja t > 0,
Darimana nilai Δnh adalah n Pada operator perbedaan hingga dengan ukuran langkah h. Deret tersebut persis seperti deret Taylor, kecuali perbedaan yang terbagi muncul sebagai pengganti diferensiasi: deret ini secara formal mirip dengan deret Newton. Saat fungsinya f bersifat analitik di a, istilah dalam deret bertemu dengan istilah deret Taylor, dan dalam pengertian ini menggeneralisasi deret Taylor biasa.
Secara umum, untuk urutan tak terbatas apa pun ai, identitas deret pangkat berikut berlaku:
Jadi secara khusus,
Hukum jumlah besar menyiratkan bahwa identitas memegang.[4]
(Jika n = 0, produk ini adalah produk kosong dan memiliki nilai 1.) Menyatu untuk bilangan real atau kompleks apa pun α.
Darimana nilai α = −1, ini pada dasarnya adalah deret geometri tak hingga yang disebutkan di bagian sebelumnya. Kasus khusus α = 12 dan α = −12 berikan fungsi akar kuadrat dan pembalikan:
Jika hanya suku linier yang dipertahankan, ini disederhanakan menjadi perkiraan binomial.
Semua sudut diekspresikan dalam radian. Angka-angka Bk muncul dalam perluasan tan x adalah angka Bernoulli. Hal itu Ek dalam perluasan sec x adalah nomor Euler.
Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya.
Secara klasik, fungsi aljabar s didefinisikan oleh persamaan aljabar, dan fungsi transendental s (termasuk yang dibahas di atas) ditentukan oleh beberapa properti yang mendukungnya, seperti persamaan diferensial. Misalnya, fungsi eksponensial adalah fungsi yang sama dengan turunannya sendiri di mana-mana, dan mengasumsikan nilai 1 di asalnya. Namun, seseorang dapat mendefinisikan fungsi analitik dengan deret Taylor-nya.
Ekspansi deret Taylor orde dua dari fungsi nilai skalar lebih dari satu variabel dapat ditulis secara kompak sebagai
Darimana Df (a) adalah gradien dari nilai f dievaluasi pada x = a dan D2f (a) adalah matriks Hessian. Menerapkan notasi multi-indeks deret Taylor untuk beberapa variabel menjadi
yang harus dipahami sebagai versi multi-indeks yang masih lebih disingkat dari persamaan pertama paragraf ini, dengan analogi penuh untuk kasus variabel tunggal.
Ekspansi di atas berlaku karena derivatif ex terhadap x juga adalah ex dan e0 sama dengan 1. Ini menyisakan elemen (x − 0)n pada numerator dan n! pada denominator untuk setiap elemen dalam jumlah tak terhingga.
^Rudin, Walter (1980), Analisis Nyata dan Kompleks, New Dehli: McGraw-Hill, hlm. 418, Exercise 13, ISBN0-07-099557-5
^Feller, William (1971), Pengantar teori probabilitas dan aplikasinya, Volume 2 (edisi ke-3rd), Wiley, hlm. 230–232.
^Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Analisis fungsional dan semi-kelompok, Publikasi Kolokium AMS, 31, American Mathematical Society, hlm. 300–327.
^Feller, William (1970). Pengantar probabilitas theory dan aplikasinya. 2 (edisi ke-3). hlm. 231.
^Duistermaat; Kolk (2010), Distribusi: Teori dan aplikasi, Birkhauser, ch. 6
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7
Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1
This browser is not supported by Wikiwand :( Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience. Please download and use one of the following browsers:
Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.
X
Get ready for Wikiwand 2.0 🎉! the new version arrives on September 1st! Don't want to wait?
Oh no, there's been an error
Please help us solve this error by emailing us at support@wikiwand.com
Let us know what you've done that caused this error, what browser you're using, and whether you have any special extensions/add-ons installed.
Thank you!