A ψ(x) jelű digamma-függvény a gamma-függvény logaritmikus deriváltja.

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx))\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).}$

Ez az első poligamma-függvény.

A digamma-függvény (jelölései: ψ₀(x), ψ⁰(x), vagy ${\displaystyle \digamma }$, a digamma (Ϝ ϝ) a preklasszikus görög ábécé hatodik betűje után) következőképpen kapcsolódik a harmonikus számokhoz:

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}$

ahol H_n az n-edik harmonikus szám, és γ az Euler-Mascheroni konstans. Félegész értékekre:

${\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2))\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1))}$

${\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t)){t))-{\frac {e^{-xt)){1-e^{-t))}\right)\,dt}$

ez a kifejezés akkor érvényes, ha ${\displaystyle x}$ valós része pozitív.

Kifejezhetjük:

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s)){1-x))dx}$

mely megfelel az Euler-integrálnak harmonikus számokra.

A digamma kiszámolható a komplex síkon a negatív egészeken kívül a következő képlettel:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z)))\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots }$

vagy

${\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)))=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1))-{\frac {1}{n+z))\right)\qquad z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots }$

Ez felhasználható racionális függvények végtelen szummájának számítására, például:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)))}$,

ahol p(n) és q(n) n polinomjai.

Magasabb rendű poligamma-függvény sor kiterjesztésével, egy általánosított képlet kapható:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k)){(n+b_{k})^{r_{k))))=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k))}{(r_{k}-1)!))a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

feltéve, ha a sorozat bal oldala konvergens.

A digammának van egy racionális zéta sorozata, mely a Taylor-sorból ered z=1-nél. Ez:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k))$,

mely konvergál |z|<1 felé. Itt a ${\displaystyle \zeta (n)}$ a Riemann-féle zéta-függvény.

A digamma Newton-sora az Euler integrál képletből adódik:

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k)){k)){s \choose k))$

ahol ${\displaystyle \textstyle {s \choose k))$ a binomiális együttható.

A digamma-függvény reflexiós képlete hasonló a gamma-függvényével.

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)))$

A digamma Gauss-összege:

${\displaystyle {\frac {-1}{\pi k))\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k))\right)\psi \left({\frac {n}{k))\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k))\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k))\right)={\frac {1}{2))-{\frac {m}{k))}$

${\displaystyle 0<m<k}$ egészekre. Itt, a ζ(s,q) a Hurwitz zéta függvény, és a ${\displaystyle B_{n}(x)}$ a Bernoulli-polinom.

Gauss digamma elmélete,^[1][2] szerint m és k ( m < k), pozitív egészekre, a digamma függvény elemi függvényekkel is kifejezhető:

${\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k))\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2))\cot \left({\frac {m\pi }{k))\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k))\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k))\right)\right)}$

J.-M. Bernardo AS 103 algoritmusa szerint^[3] a digamma-függvény x valós számokra közelíthető:

${\displaystyle \psi (x)=\ln(x)-{\frac {1}{2x))-{\frac {1}{12x^{2))}+{\frac {1}{120x^{4))}-{\frac {1}{252x^{6))}+O\left({\frac {1}{x^{8))}\right)}$

Hasonló közelítés magasabb tagokra:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\ln(x)-{\frac {1}{2x))-{\frac {1}{12x^{2))}+{\frac {1}{120x^{4))}-{\frac {1}{252x^{6))}+{\frac {1}{240x^{8))}-{\frac {5}{660x^{10))}\\&\quad +{\frac {691}{32760x^{12))}-{\frac {7}{84x^{14))}+{\frac {3617}{8160x^{16))}-{\frac {43867}{14364x^{18))}+O\left({\frac {1}{x^{20))}\right)\end{aligned))}$

Gauss digamma elmélete eredményeképpen a digamma-függvény zárt formájú értékei racionális számokra:

${\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2))\right)=-2\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3))\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3))))-{\frac {3}{2))\ln {3}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4))\right)=-{\frac {\pi }{2))-3\ln {2}-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6))\right)=-{\frac {\pi }{2)){\sqrt {3))-2\ln {2}-{\frac {3}{2))\ln(3)-\gamma }$

${\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8))\right)=-{\frac {\pi }{2))-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2))}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2)))-\ln(2-{\sqrt {2)))\right\}-\gamma }$

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds: "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1972. 258–259. o.  
• Bernardo, José M: "Algorithm AS 103 psi(digamma function) computation". (hely nélkül): Applied Statistics 25. 1976. 315–317. o.  

• Poligamma-függvény
• Trigamma-függvény
• Csebisev-polinomok
• Gamma-függvény
• Derivált
• Digamma
• Riemann-féle zéta-függvény
• Newton-sor