לערך המלא

שני הפרדוקסים המרכזיים של תורת הקבוצות הנאיבית, פרדוקס קנטור ופרדוקס ראסל קשורים קשר הדוק.

פרדוקס קנטור מבוסס על "קבוצת כל הקבוצות". לפי משפט קנטור קבוצת החזקה של "קבוצת כל הקבוצות" חייבת להיות גדולה בעוצמתה מ"קבוצת כל הקבוצות". מה שעומד בסתירה לכך שקבוצת החזקה היא תת-קבוצה של "קבוצת כל הקבוצות".

אם מנתחים את הוכחת משפט קנטור במקרה הזה, מגלים שנקודת המפתח היא חקר "קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן" אשר מוביל לסתירה. על "קבוצה" זאת מבוסס פרדוקס ראסל.

אפשר לומר כי פרדוקס ראסל הוא מיצוי של הסתירה מתוך פרדוקס קנטור.

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2))$$ משפט פיתגורס. אחד המשפטים המנוסחים הראשונים בהיסטוריה של המתמטיקה.

נתונים 10 שקים. בכל אחד מהם נמצאים המון מטבעות. כל המטבעות שוקלים 1 גרם, מלבד שק אחד שהמטבעות בו מזויפים ושוקלים 2 גרם. ברשותך מאזניים דיגיטליים שנותנים משקל מספרי. מהו המספר הקטן ביותר של שקילות שדרוש כדי למצוא את השק המזויף?

אותה חידה, אלא שהפעם כל שק יכול להיות מזויף או אמיתי. כמה שקילות דרושות הפעם?

פתרון
הפעם נוציא מטבע אחד מהשק הראשון, שניים מהשני, ארבעה מהשלישי ובאופן כללי ${\displaystyle 2^{n-1))$ מהשק ה-nי. אילו כל השקים היו אמיתיים, הסכום היה 1023. נסתכל על ההפרש בין המספר שיצא לבין 1023 ונרשום אותו בבסיס בינארי. איפה שהספרה היא 1, סימן שהשק הוא מזויף. לפיכך התשובה היא שוב 1.

אי-שוויון ברנולי הוא אי-שוויון יסודי ושימושי באנליזה מתמטית, המאפשר להעריך את הביטוי ${\displaystyle \ (1+x)^{n))$. האי-שוויון קובע ש- ${\displaystyle \ (1+x)^{n}\geq 1+nx}$ לכל מספר שלם ${\displaystyle \ n\geq 0}$ ולכל מספר ממשי ${\displaystyle \ x>-1}$. את האי-שוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה ${\displaystyle \ (1+{\frac {1}{n)))^{n))$ עולה בזמן שהסדרה ${\displaystyle \ (1+{\frac {1}{n)))^{n+1))$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, ${\displaystyle \ e=2.718...}$, כגבולן המשותף.

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים