במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת ה-${\displaystyle m+1}$ של הלוגריתם של פונקציית גמא:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m)){dz^{m))}\psi (z)={\frac {d^{m+1)){dz^{m+1))}\ln \Gamma (z)}$,

כאשר, פונקציית הפוליגמא מסדר 0 הנקראת גם פונקציית דיגמא היא:

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)))}$

ו- ${\displaystyle \Gamma (z)}$ היא פונקציית גמא. פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus -\mathbb {N} _{0))$.

גרפים של פונקציית הלוג של גמא ושל כמה פונקציות פוליגמא הראשונות במישור המורכב:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$	${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$
${\displaystyle \psi ^{(2)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(3)}(z)}$	${\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}$

אפשר להגדיר את פונקציות הפוליגמא על ידי אינטגרלים:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt)){1-e^{-t))}\ dt=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1)){1-t))\ln ^{m}t\ dt}$

וגם על ידי נוסחת נסיגה

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1))))$

או על ידי

${\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!))=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1))}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1))}\qquad m\geq 1}$

כאשר

${\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k))}$

לכל ${\displaystyle n}$ טבעי (${\displaystyle \gamma }$ הוא הקבוע של אוילר-מסקרוני).

טורי טיילור של פונקציות הפוליגמא הם:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!))\;\zeta (m+k+1)\;z^{k}\qquad m\geq 1}$

כאשר

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)\;z^{k))$

אשר מתכנס כאשר לכל ${\displaystyle z}$ בעל ערך מוחלט קטן מ-1. במקרה זה ${\displaystyle \zeta }$ היא פונקציית הזטא של רימן.

מדיה וקבצים בנושא פונקציית פוליגמא בוויקישיתוף

• פונקציית פוליגמא, באתר MathWorld (באנגלית)