ערך מורחב – אוריינטביליות

יריעה נקראת אוריינטבילית^(אנ') אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות.

טבעת רגילה, יריעה אוריינטבילית

טבעת מביוס, יריעה לא אוריינטבילית

ערך מורחב – טבעת מביוס

הדוגמה הבסיסית ביותר ליריעה לא אוריינטבילית היא טבעת מביוס.

ניתן לבנות טבעת מביוס באופן הבא: לוקחים סרט ארוך, מסובבים את אחד הקצוות מחצית הסיבוב, ואז מדביקים אותו לקצה השני. בניגוד לטבעת רגילה, שהשפה שלה כוללת שני מעגלים נפרדים, השפה של טבעת מביוס כוללת רק מעגל אחד: אם מעבירים אצבע לאורך השפה, משלימים את התנועה לאחר ביקור בכל נקודות השפה.

מכיוון שטבעת מביוס היא משטח במרחב, העובדה שהיא לא אוריינטבילית שקולה לכך שאין עליה שדה נורמלי באורך יחידה. או במילים אחרות, לא ניתן לבחור לה צד.

כמו שראינו קודם, כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס הוא טבעת רגילה, במילים אחרות גליל. גליל הוא יריעה אוריינטבילית, ובפרט טבעת מביוס לא יכלה להיות הומיומורפית לגליל.

טורוס, יריעה אוריינטבילית

בקבוק קליין, מוטבע במרחב התלת-ממדי, יריעה לא אוריינטבילית

טורוס

בקבוק קליין

על מנת לכבל את היריעות, יש להדביק כל צלה לצלה שצבועה באותו צבע, לפי כיוון החץ.

ערך מורחב – בקבוק קליין

בקבוק קליין הוא משטח סגור^(אנ') לא אוריינטבילי. כפי שנראה בהמשך, עובדה זו מוכיחה שאי-אפשר לשכנו במרחב התלת ממדי. אולם ניתן להטביעו במרחב כזה, זאת אומרת קיימת אימרסיה^(אנ') מבקבוק קליין למרחב תלת ממדי. ניתן לתאר את בקבוק קלין בתור ריבוע שהדביקו את זוג צלעותיו המנוגדות אחת לשנייה, ואת זוג צלעותיו האחר הדביקו אחת לשנייה אחרי חצי סיסוב של אחת מהן (זאת אומרת, הדביקו כך שנקודות קרובות לפינה התחתונה הימנית למשל יודבקו לנקודות קרובות לפינה העליונה השמאלית, ונקודות קרובות לפינה התחתונה השמאלית יודבקו לנקודות קרובות לפינה העליונה הימנית).

מתאור זה קל לראות שכיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין הוא הטורוס. הטורוס הוא יריעה אוריינטבילית.

ערכים מורחבים – משטח, גנוס

ערך מורחב – מרחב פרויקטיבי

width="250"

ערך מורחב – החבורה היסודית

ערך מורחב – יריעה אנליטית מרוכבת

ערך מורחב – גאומטריה סימפלקטית

אאאאאאאאאאאאאאאא:	תת-קבוצה כאשר ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k))$.
אאאאאאאאאאאאאאאא:

― הועבר מהדף משתמש:Aizenr/טיוטה

• 
  טבעת מביוס, יריעה לא אוריינטבילית
• 
  טבעת רגילה (ז"א גליל) היא כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס, ובפרט יריעה אוריינטבילית
• 
  בקבוק קליין, מוטבע במרחב התלת-ממדי, יריעה לא אוריינטבילית
• 
  טורוס הוא כיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין, יריעה אוריינטבילית.
• 
  משטח שטיינר (Roman surface) – הטבעה של המישור הפרויקטיבי במרחב, יריעה לא אוריינטבילית.
• 
  ספירה, היא כיסוי האוריינטציות של המישור הפרויקטיבי , יריעה אוריינטבילית
• 
  משטח אוריינטבילי מגנוס 3. ניתן למיין את כל המשטחים (הקשירים) הסגורים (Closed manifold) ע"י האוריינטביליות והגנוס שלהם.

― סוף העברה

טבעת רגילה, יריעה אוריינטבילית

טבעת מביוס, יריעה לא אוריינטבילית

טורוס, יריעה אוריינטבילית

בקבוק קליין, מוטבע במרחב התלת-ממדי, יריעה לא אוריינטבילית

הדבקה של בקבוק קליין וטורוס

טורוס

בקבוק קליין

על מנת לקבל את היריעות (בקבוק קליין וטורוס), יש להדביק כל צלע לצלע הנגדית (זאת שצבועה באותו צבע), לפי כיוון החץ.

ספירה, יריעה אוריינטבילית

משטח שטיינר (Roman surface) – הטבעה של המישור פרויקטיבי במרחב, יריעה לא אוריינטבילית

יריעה לא אוריינטבילית	כיסוי האוריינטציות שלה
מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי	ספירה מאותו ממד
משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים משטח (קשיר) לא אוריינטבילי ${\displaystyle \Sigma '_{n+1))$ מגנוס ${\displaystyle {n+1))$. ניתן לתאר אותו בתור הסכום הקשיר (Connected sum) ${\displaystyle \Sigma '_{n+1}={\underset ((n+1}{\text{ copies ))}{\underbrace {\mathbb {RP} ^{2}\#\dots \#\mathbb {RP} ^{2)) )),}$ כאשר ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2))$ הוא המישור הפרויקטיבי.	משטח (קשיר) אוריינטבילי ${\displaystyle \Sigma _{n))$ מגנוס ${\displaystyle n}$. המשטח נראה כספירה שחיברו אליה ${\displaystyle n}$ ידיות. לחילופין ניתן לתאר אותו בתור ${\displaystyle \Sigma _{n}=S^{2}\#{\underset {n{\text{ copies ))}{\underbrace {T^{2}\#\dots \#T^{2)) )),}$ כאשר ${\displaystyle S^{2))$ היא הסיפרה ו${\displaystyle T^{2))$ הוא הטורוס.

משתמש:Aizenr/אוריינטציה/תבנית