משפט הצפיפות של צ'בוטרב
משפט הצפיפות של צ'בוטרב הוא משפט מרכזי בתורת המספרים האלגברית. עבור הרחבת גלואה נתונה של שדות מספרים, עם חבורת גלואה G, המשפט מתאר כיצד מתפלגת בין איברי G העתקת פרובניוס המתאימה לראשוני הנבחר, כביכול, באקראי. משפט הצפיפות מהווה הכללה משותפת למשפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות ולמשפט פרובניוס על פירוק פולינום שלם מודולו ראשוניים שונים. בין המסקנות החשובות מהמשפט: בכל שדה מספרים, האידיאלים הראשוניים מתפלגים באופן אחיד (במובן של צפיפות דיריכלה) בין המחלקות השונות של חבורת מחלקות האידיאלים.
משפט הצפיפות: תהי K/F הרחבת גלואה של שדות מספרים, עם חבורת גלואה . עבור כל מחלקת צמידות C של G, לקבוצת הראשוניים p שעבורן העתקת פרובניוס שייכת ל-C יש צפיפות דיריכלה השווה ל- . יש להבחין שהעתקת פרובניוס המתאימה לראשוני p (של F) אינה מוגדרת היטב כאיבר של G, אלא עד כדי הצמדה. לכן קובע המשפט למעשה שהעתקת דיריכלה מקבלת כל ערך אפשרי בחבורה, ב"הסתברות" אחידה.
אם f הוא פולינום מתוקן בעל מקדמים בחוג השלמים האלגבריים של F, אז העתקת פרובניוס המתאימה לראשוני p (שהוא אידיאל ראשוני בחוג השלמים) פועלת על שורשי הפולינום בשדה השאריות באמצעות העלאה בחזקת . לפי תורת גלואה של שדות סופיים, מבנה המחזורים של פעולה זו שווה לתבנית הפירוק של הפולינום f מעל השדה . כך אפשר להסיק ממשפט הצפיפות של צ'בוטרב את משפט פרובניוס.
צ'בוטרב (1894-1947) הוכיח את המשפט ב-1922, באמצעות רדוקציה של הרחבת שדות כללית להרחבה ציקלוטומית. כדי להוכיח את המשפט עבור הרחבה ציקלוטומית K/F, הוא פירק את פונקציית זטא של השדה K כמכפלה של פונקציות L של השדה F, בדומה לאופן שבו הוכיח דיריכלה את המשפט שלו. ההוכחה פורסמה ב-1923 ברוסית, ואז ב-1925 בגרמנית. שנתיים אחר-כך נעזר אמיל ארטין בשיטת הרדוקציה של צ'בוטרב כדי להוכיח את משפט ההיפוך שלו, ושיטה זו היא עדיין צעד חיוני בכל הוכחה של משפט ההיפוך. את המשפט של צ'בוטרב, לעומת זאת, גוזרת הספרות המודרנית ממשפט ההיפוך, המטפל באופן ישיר בכל הרחבת שדות אבלית.
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- משפט הצפיפות של צ'בוטרב, באתר MathWorld (באנגלית)
פונקציות L וזטא | ||
---|---|---|
פונקציות זטא בתורת המספרים | פונקציית זטא של רימן • פונקציית זטא של דדקינד • פונקציית זטא של הסה-וויל • פונקציית זטא אריתמטית • פונקציית זטא של איגוסה | |
פונקציות L (נוספות) בתורת המספרים | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית L של ארטין • פונקציית L של הקה • פונקציית L של תבנית אוטומורפית • פונקציית L מוטיבית | |
תוצאות חשובות | המשכה אנליטית ומשוואה פונקציאונלית עבור פונקציית זטא של רימן • משפט המספרים הראשוניים • הנוסחה המפורשת של רימן מנגולד • משפט דיריכלה • משפט הצפיפות של צ'בוטרב • משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • השערות וויל • נוסחת מספר המחלקה (של דיריכלה ושל דדקינד) | |
השערות חשובות | השערת רימן (המוכללת) • השערת לנגלנדס • השערת לינדולף • השערת ארטין | |
פונקציות L וזטא נוספות | פונקציית זטא של חבורה • פונקציית זטא הצגתית של חבורה • פונקציית זטא של סלברג | |
מושגים קשורים נוספים | תורת המספרים האנליטית • תורת המספרים האלגברית • המשכה אנליטית • טור דיריכלה |
נוסחת מספר המחלקה | ||
---|---|---|
נוסחאות | נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה • נוסחת מספר המחלקה של דדקינד | |
מספרי מחלקה | מספר מחלקה (תבניות ריבועיות) • מספר מחלקה (תורת המספרים) | |
פונקציות L וזטא | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית זטא של דדקינד | |
שימושים | משפט דיריכלה • משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • משפט הצפיפות של צ'בוטרב | |
מושגים קשורים נוספים | תבנית ריבועית בינארית • שדה מספרים • חוג השלמים האלגבריים • חבורת מחלקות האידיאלים |
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.